Etude d'une fonction exponentielle

Bonjour! Je suis élève de Terminale S au CNED, et je rencontre pas mal de difficultés en maths ; voici mon exercice :

On se propose d'étudier la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=(x+1)e^(-1/x)
On note C la courbe représentative de f dans une repère orthonormal (O;i;j).

1)Etude des varations de f
a.Déterminer la fonction dérivée f
b.Etudier le sens de varation de f
c.Etudier la limite de f en +∞

2)Etude d'une fonction auxiliaire
φ est la fonction définie sur [0;+∞[ par φ(u)=1-(1+u)e^-u
a.Déterminer la dérivée de φ
b.Démonter que pour tout u≥0, 0≤φ'(u)≤u
c.Etudier le sens de varation de la fonction u→φ(u)-(u²/2) sur [0;+∞[
d.En déduire que pour tout u≥0, 0≤φ(u)≤(u²/2) (1)

3)Etude de f en +∞
a.A l'aide de**(1)**, démontrer que pour tout x>0, 0≤x-f(x)≤1/2x
b.En déduire que C admet une asymptote Δ en +∞
Préciser la position de C par rapport à Δ.

4)Etude de la tangente Ta à C en un point d'abscisse a
a.Déterminer une équation de Ta
b.Démontrer que Ta coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a/(1+a+a²)

5)Tracé de C
Tracer C, Δ et la tangente à C au point d'abscisse 1/3.

⇒Voici mes réponses pour les premières questions:

1)a. f'(x)=(e^(-1/x)*(x²+x+1))/x² (je ne détaille pas)

b.J'étudie le signe de la dérivée, je trouve f'(x) toujours positive, donc f(x) toujours croissante.

c.En +∞, lim f(x)=+∞

2)a.φ'(u)=ue^-u

b.On a φ'(u)=ue^-u , or comme e^-u toujours compris entre 0 et 1 pour u≥0, si on le multiplie par u, alors il sera compris entre 0 et u ; on peut écrire : O≤e^-u≤1 ⇔ 0≤ue^-u≤u.

c.Je calcule la dérivée de cette fonction (que j'appelle g(u) soit sa dérivée g'(u)).
g'(u)=1/2(-u²-2ue^(-u)-2(e^(-u)-1))
Je trouve que son signe est toujours négatif, donc la fonction g(u) est toujours décroissante sur [0;+∞[.

C'ets à partir d'ici que je commence à bloquer ... Je viens d'y passer un temps fou sans que cela avance !
Si quelqu'un aurait la bonté de me donner des pistes pour la suite de l'exercice, je le remercie d'avance !

Bon après-midi !!!

Bonjour ,

Je regarde seulement l'endroit où tu bloques, pour te faira avancer un peu

Une piste pour la 3)d)

A la 3)c) , tu as trouvé g décroissante sur [0,+∞[ , donc :

pour tout u ≥ 0 , g(u) ≤ g(0)

Calcule g(o) :

Si j'ai bien lu , g(0)=φ(0)-0² $2=1-(1+0)e^{-0}$ -0²/2

Donc g(0)=1-1

Donc g(0)=0

Conclusion :

g(u) ≤ 0

φ(u)-[/b]u²/2 ≤ 0[/b]

En transposant :

φ(u)≤ u²/2

Bonne fin de devoir.

Merci beaucoup, c'est bien la méthode que j'ai utilisée ; j'ai déjà fini le devoir maintenant! Merci tout de même pour la réponse.