Dérivées et tangentes !



  • Bonjour à tous.

    Voici mon énoncé :
    " f est la fonction définie sur R \ {-1} par f(x) = 2x/x+1 et C est sa courbe représentative
    1a) Démontrez que f est dérivable sur chacun des intervalles ]- infini ; -1[ et ]-1 ; + infini [
    b) Calculer f'(x)
    2 Quels sont les points de C en lesquels la tangente à C est parallèle à la droite d'équation y=4x ?
    3 Existe-t-il des tangentes à C passant par le point A ( 0;1 ) ? "

    Pour la question 1, je pense avoir la réponse, mais le soucis est la rédaction. Je dirai : f est une fonction du type u/v. u est dérivable sur R donc dérivable sur ces deux intervalles. v est le dénominateur de cette fonction, donc il doit etre différent de 0. Si x = -1, v vaudra 0 donc on exclut -1 du domaine de définition.
    F est une fonction représentant un quotient de fonctions dérivable sur ] - infini ; -1 [ et ] -1 ; + infini [ .
    On peut donc conclure que f est dérivable sur ] - infini ; -1 [ et ] -1 ; + infini [

    Après je trouve f'(x) = ( u/v )'
    = (u'.v - u.v') / v²= [ 2(x+1) - 2x . 1 ) / ( x+1)²
    *********************= 2 / ( x+1 )²

    y' (x) = 4
    4 est le coefficient directeur de y.
    On cherche les tangentes à Cf de coefficient directeur égal à 4. On résout donc l'équation f'(x)=4, donc 😘
    2 / ( x+1)² = 4

    Par la suite, j'arrive à -4x²-8x-2 / (x+1)²

    Je trouve delta = 32 avec x1 = -2-racine de 2 / 2********************** et x2 = -2+racine de 2 / 2

    On peut donc dire que les points de C où la tangente à C est parallèle à la droite d'équation y=4x ont pour abscisse x1 et x2.*

    Pour la dernière question, je suis un peu perdu. J'aimerai que vous m'aidiez à la résoudre .. Evidemment, je ne demande aucune réponse !

    En vous remerciant .


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je n'ai pas regardé tes réponses.

    Je regarde seulement ta préoccupation au sujet de la question 3)

    Idée :

    L'équation d'une tangente (T) à un point de la courbe d'abscisse a est :

    y=f'(a)(x-a)+f(a)

    Tu cherches a tel que A ∈ (T) : pour cela , tu remplaces x par 0 et y par 1

    1=f'(a)(0-a)+f(a)

    Tu résous cette équation pour trouver a ( évidemment après avoir remplacé f(a) et f'(a) par leurs expressions respectives )



  • Merci de votre réponse !

    Cela donne donc 2/ (a+1)² ( 0 - a ) + 2a / (a + 1) -1 = 0

    J'arrive à ce quotient : a²-2a+1 / ( a+1)² = 0

    Je résous ce quotient pour savoir quand est ce qu'il vaut 0 et je trouve une solution .. Qui est de 1.

    J'ai fais une erreur je pense ..


  • Modérateurs

    D'accord pour la première ligne .

    Vérifie les signes pour la seconde.



  • Ok, j'ai réctifié !

    J'arrive à a²-2a-1 / ( a+1)² = 0

    Delta = 8 donc deux solutions : x1 = 1 + sqrtsqrt2) et x2 = 1 -sqrtsqrt2)

    Mais je ne sais pas quoi conclure .. Il existe donc deux tangentes ..


  • Modérateurs

    C'est bon ; appelle plutôt a1a_1 et a2a_2 les solutions.

    Il existe deux tangentes à la courbes passant par le point A .

    (Tu peux trouver l'équation de chacune de ces tangentes , si l'énoncé te le demande )



  • Je peux trouver les équations de chacune ..? Comment ?


  • Modérateurs

    y=f'(a)(x-a)+f(a) est l'équation de la tangente au point de la courbe d'abscisse a

    Tu remplaces a par chacune des 2 valeurs que tu as trouvé et tu termines le calcul.



  • Ok, donc si je remplace par 1+ racine (2)

    Je trouve 2x/(2+sqrtsqrt2) )² + (8+4sqrtsqrt2) ) / ( 2+sqrtsqrt2) )²

    Et pour 1-sqrtsqrt2) je trouve 2x / ( 2-sqrtsqrt2) )² - (8sqrtsqrt2) -2) / ( 2 - sqrtsqrt2) )²

    Qu'en pensez-vous ?


  • Modérateurs

    Je ne vois pas d'équations correctes...

    Rappel : y=f'(a)(x-a)+f(a)



  • Bah c'est bien y = 2/(a+1)² ( x-a ) + (2a)/(a+1)

    Je viens de refaire deux fois les calculs .. Je ne vois pas ..


  • Modérateurs

    Je n'est pas trop regardé les expressions écrites .

    Je te disais que je ne voyais pas d'équations correctes car tu n'avais pas écrit "d'équations" : il manquait le "y="

    1er cas:
    a1=1+2a_1=1+\sqrt 2

    Tangente (T1) d'équation :

    y=2(a1+1)2(xa1)+2a1a1+1y = \frac{2}{(a_1+1)^2} ( x-a_1 ) + \frac{2a_1}{a_1+1}

    2eme cas:

    a1=12a_1=1-\sqrt 2

    Tangente (T2) d'équation :

    y=2(a2+1)2(xa2)+2a2a2+1y = \frac{2}{(a_2+1)^2} ( x-a_2 ) + \frac{2a_2}{a_2+1}



  • Donc mes deux premières réponses me semblent correct .. Parce que j'ai appliqué ce que vous m'avez expliqué dans votre message !


  • Modérateurs

    oui , mais n'oublie pas le "y = ...."



  • D'accord ! Et bien merci de votre compréhension 🙂


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