angles orientés et suites



  • Bonjour,
    Je suis élève en première scientifique et je rencontre un problème sur un exercice qui combine à la fois de la
    trigonométrie, et des suites.

    A tout entier on associe le point Mn du cercle de centre O et de rayon 8/2n8/2^n
    tel que (vecteur i; vecteur OMn) = n×(π/2)

    1]a) En prenant le cm pour unité, construisez les points M0M_0 M1M_1 M2M_2 M3M_3
    M4M_4
    b)Quelles sont les coordonnées des points dans le repère.

    2]a) Quelle est la nature des triangles OMnMn+1OMnM_{n+1} justifiez
    b) A l'aide du théorème de pythagore, démontrez que MnMn+1= 8√5/2n+15/2_{n+1}

    Pour le résultat de la question 1b je trouve que M0 a pour coordonnées (8 cosvecteur i; 0 sinvecteur j), comme je prends le cm comme unité.
    Mais pour M1, je trouve bien (0 cosvecteur i; 4 sinvecteur j).
    Je bloque maintenant sur la question 2b : J'utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OMnMn+1 rectangle en O.

    MnMn+1² = OMn² + OMn+1²
    = (8/2n(8/2^n)² + (8/2n+1(8/2^{n+1}

    Après avoir développé, mis les deux fractions au même dénominateur, puis additionné les deux fractions, j'arrive à cette fraction :

    MnMn+1² = (16n+3(16^{n+3} + 1616^{n+2})/(24n+2)/(2^{4n+2})

    Et là, je n'arrive plus à continuer. Pouvez-vous m'aider ? Merci.
    J'ai encore 3 questions (suites) ensuite dans le même exercice... mais si vous m'aidez pour celle là, j'essaierai d'abord de les faire seul. Merci d'avance.



  • Bonjour,
    Curieux ce rayon 8/2n
    Il pourrait être simplifié.
    Et pour n = 0, pas de point M0 ?!
    Revois ton énoncé.



  • Euh, oui, j'ai oublié de mettre des exposants, je modifie mon premier message, désolé.



  • Citation
    je trouve que M0 a pour coordonnées (8 cosvecteur i; 0 sinvecteur j)Ça ne veut rien dire.
    M0 a pour coordonnées : (8cos 0 ; 8sin 0) = (8;0)
    Remarque analogue pour M1

    Pour la 2)a) quelle est ta justification ?

    Pour la 2)b) Mets 64/22n+264/2^{2n+2 }en facteur.

    PS : revois l'énoncé :
    Citation
    MnMn+1= 8√5/2n+15/2_{n+1}



  • Pour le 2)a), j'ai mis qu'un angle de π/2 = 90°

    Et MMnM</em>n+1M</em>{n+1} correspond à l’hypoténuse de chaque triangle rectangle en l'origine du repère, je crois.



  • Citation
    Pour le 2)a), j'ai mis qu'un angle de π/2 = 90°Naïf.
    Ce qui compte c'est pourquoi tu trouves π/2 (ou 90°)

    Citation
    Et MnMn+1 correspond à l’hypoténuse de chaque triangle rectangle en l'origine du repère, je crois.Et cela me semble superflu : le triangle est rectangle en O (donc MnMn+1 est l'hypoténuse).

    Et pour la 2)b) as-tu compris ?



  • Pour la 2)b), je mets en facteur dès le début ? Ou mon raisonnement était bon ?

    2)a) : Je trouve que l'angle est à chaque fois augmenté de π/2 car on le multiplie par 0, puis 1, 2, ...



  • 2)a) :
    Utilise les angles de vecteurs : (OMn,OMn+1)= (i,OMn+1) - (i,OMn)= (n+1)π/2 - nπ/2 = π/2 ( le tout modulo 2π)
    Entre parenthèses, ce sont évidemment des vecteurs.

    Pour la 2)b) :
    Citation
    MnMn+1² = OMn² + OMn+1²
    = (8/2n(8/2^n)² + (8/2n+1(8/2^{n+1}
    Maintenant, mets (8/2n+1(8/2^{n+1})² = 64/22n+264/2^{2n+2} en facteur.
    Il y a une façon plus simple de s'en tirer : je te la montrerai après.



  • ok ! Merci beaucoup ! je vais voir l'exercice et je reviendrai plus tard... 😉



  • Dis-moi quand même si tu arrives à trouver la réponse (2b).



  • J'ai un peu cherché, et je ne vois toujours pas comment le mettre en facteur, vu que (8/2n+1(8/2^{n+1}) n'est pas commun aux deux termes.



  • Oui, mais 8/2n8/2^n = 2(8/2n+12*(8/2^{n+1})

    (8/2n(8/2^n)² + (8/2n+1(8/2^{n+1})² = 64/22n64/2^{2n} + 64/22n+264/2^{2n+2}
    $=64/2^{2n+2}$
    = [5<em>64]/22n+2[5<em>64]/2^{2n+2}
    Et donc, en prenant la racine carrée, on a ce qu'on souhaite :
    MnMn+1 = 8
    5/2n+15/2^{n+1}



  • D'accord, merci beaucoup 😃



  • Mais il y a plus simple :

    fichier math
    Puisque 8/2n8/2^n = 2(8/2n+12*(8/2^{n+1}) , on peut poser a = (8/2n+1(8/2^{n+1}), et on obtient directement le résultat.

    Bien sûr, a√5 s'obtient en utilisant le th de Pythagore.



  • J'ai encore 3 questions, sur les suites maintenant.

    1. On considère la suite (Un(U_n) telle que pour tout entier naturel n, UnU_n = MMnM</em>n+1M</em>{n+1}
      Démontrez que la suite (Un(U_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    Pour cette question, j'ai trouvé le premier terme avec le théorème de Pythagore : √(8²+4²) = √80 ≈ 8,94
    La raison est q = 0,5 vu que toutes les longueurs sont divisées par 2.
    Mais je ne sais pas exactement comment démontrer ceci.

    1. On pose SnS_n = U0U_0 + ... + UnU_n
      Démontrez que SnS_n = (8√5) × [1 - (1/2n+1(1/2^{n+1})].

    S = (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    = (1 - 0,5n+15^{n+1})/(1 - 0,5)

    Et c'est là que je ne sais pas comment continuer. Je pense pas que 2(1 - 0,5n+15^{n+1}) soit le bon chemin à suivre pour finir.

    1. Déterminer le rang à partir duquel SnS_n ∈ [8√5 - 10410^{-4} ; 8√5].

    J'ai un peu cherché sur cette question, mais je n'arrive absolument à rien, peut-être que j'ai besoin de la réponse de la question 4. ?

    Merci beaucoup de m'avoir déjà bien aidé !



  • Un = MnMn+1 = 8√5/2n+15/2^{n+1} te donne les réponses :
    U0 s'obtient en remplaçant n par 0 (inutile de recommencer Pythagore).
    Un+1 = (1/2)Un , donc la suite est géométrique de raison 1/2 : rien de plus à dire.

    Citation
    S = (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)Tu as oublié U0 !
    Et quand vas-tu remplacer 0.5 par 1/2 ?

    Pour la dernière question, tu dois vérifier deux inégalités.
    L'une d'elles est automatiquement vérifiée.
    Reste 8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5(11/2n+15(1-1/2^{n+1}) qui s'arrange et donne :
    2n+12^{n+1} ≥ 8√5 * 10410^4 = √320 * 10410^4 (vérifie)
    Passe alors aux logarithmes.



  • Merci pour la question 3 !

    Pour la 4, est-ce que je dois bien commencre par cette formule ?
    nino50
    S = (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)

    Et enfin la question 5, je n'ai pas encore étudié les logarithmes, y aurait-il un autre moyen de la réussir ?
    Merci encore.



  • Non : il manque U0 comme je te l'ai dit.



  • Quelle formule dois-je utiliser alors ?



  • SnS_{n }= U0U_0*(1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)



  • D'accord, merci, je vais essayer de faire cette question sans aide.

    Mais pour la question 5, il n'y a pas un autre moyen de trouver ?



  • Il faut trouver n (entier) vérifiant :
    2n+12^{n+1} ≥ √320 * 10410^4 (à vérifier)
    Si tu ne connais pas les logarithmes, tu peux essayer n = 10 , n = 15 ; ...
    pour avoir une idée.



  • Je bloque sur la question 4 quand même :

    SnS_n = U0U_0 × (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    = (8√5)/(2n+15)/(2^{n+1}) × (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    Je pense que je dois finir par mettre (8√5) en facteur, mais je ne sais pas comment continuer.

    Et merci pour la question 5, je me débrouillerais comme ça 😄



  • q vaut 1/2
    Donc 1-q = 1/2
    Sn = U0 × (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    = (8√5)/2(11/2n+15)/2*(1-1/2^{n+1})/(1/2)
    = (8√5)/2(11/2n+15)/2*(1-1/2^{n+1})*2
    = 8√5/(11/2n+15/(1-1/2^{n+1})

    Pour la 5, essaie jusqu'à n = 17



  • Dernière question : Pour le 5, je n'ai pas compris comment on passe de

    8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5 × (1 - 1/2n+11/2^{n+1})

    à

    2n+12^{n+1} ≥ √320 × 10410^4

    Merci beaucoup de m'avoir aidé.



  • On développe :
    8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5 × (1 - 1/2n+11/2^{n+1})
    8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5 - 8√5/2n+15/2^{n +1}
    On simplifie :

    • 10410^{-4} ≤ - 8√5/2n+15/2^{n +1}
      On change de membres :
      8√5/2n+15/2^{n +1} ≤ <10410^{-4}
      On inverse :
      2n+12^{n +1}/8√5 ≥ 10410^4 (attention au sens de l'inégalité)
      On multiplie par 8√5 = √320 :
      2n+12^{n +1}10410^4*√320


  • C'est plus clair comme ça, merci beaucoup 😄



  • De rien.
    Bon courage.


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.