angles orientés et suites



  • Bonjour,
    Je suis élève en première scientifique et je rencontre un problème sur un exercice qui combine à la fois de la
    trigonométrie, et des suites.

    A tout entier on associe le point Mn du cercle de centre O et de rayon 8/2n8/2^n
    tel que (vecteur i; vecteur OMn) = n×(π/2)

    1]a) En prenant le cm pour unité, construisez les points M0M_0 M1M_1 M2M_2 M3M_3
    M4M_4
    b)Quelles sont les coordonnées des points dans le repère.

    2]a) Quelle est la nature des triangles OMnMn+1OMnM_{n+1} justifiez
    b) A l'aide du théorème de pythagore, démontrez que MnMn+1= 8√5/2n+15/2_{n+1}

    Pour le résultat de la question 1b je trouve que M0 a pour coordonnées (8 cosvecteur i; 0 sinvecteur j), comme je prends le cm comme unité.
    Mais pour M1, je trouve bien (0 cosvecteur i; 4 sinvecteur j).
    Je bloque maintenant sur la question 2b : J'utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OMnMn+1 rectangle en O.

    MnMn+1² = OMn² + OMn+1²
    = (8/2n(8/2^n)² + (8/2n+1(8/2^{n+1}

    Après avoir développé, mis les deux fractions au même dénominateur, puis additionné les deux fractions, j'arrive à cette fraction :

    MnMn+1² = (16n+3(16^{n+3} + 1616^{n+2})/(24n+2)/(2^{4n+2})

    Et là, je n'arrive plus à continuer. Pouvez-vous m'aider ? Merci.
    J'ai encore 3 questions (suites) ensuite dans le même exercice... mais si vous m'aidez pour celle là, j'essaierai d'abord de les faire seul. Merci d'avance.



  • Bonjour,
    Curieux ce rayon 8/2n
    Il pourrait être simplifié.
    Et pour n = 0, pas de point M0 ?!
    Revois ton énoncé.



  • Euh, oui, j'ai oublié de mettre des exposants, je modifie mon premier message, désolé.



  • Citation
    je trouve que M0 a pour coordonnées (8 cosvecteur i; 0 sinvecteur j)Ça ne veut rien dire.
    M0 a pour coordonnées : (8cos 0 ; 8sin 0) = (8;0)
    Remarque analogue pour M1

    Pour la 2)a) quelle est ta justification ?

    Pour la 2)b) Mets 64/22n+264/2^{2n+2 }en facteur.

    PS : revois l'énoncé :
    Citation
    MnMn+1= 8√5/2n+15/2_{n+1}



  • Pour le 2)a), j'ai mis qu'un angle de π/2 = 90°

    Et MMnM</em>n+1M</em>{n+1} correspond à l’hypoténuse de chaque triangle rectangle en l'origine du repère, je crois.



  • Citation
    Pour le 2)a), j'ai mis qu'un angle de π/2 = 90°Naïf.
    Ce qui compte c'est pourquoi tu trouves π/2 (ou 90°)

    Citation
    Et MnMn+1 correspond à l’hypoténuse de chaque triangle rectangle en l'origine du repère, je crois.Et cela me semble superflu : le triangle est rectangle en O (donc MnMn+1 est l'hypoténuse).

    Et pour la 2)b) as-tu compris ?



  • Pour la 2)b), je mets en facteur dès le début ? Ou mon raisonnement était bon ?

    2)a) : Je trouve que l'angle est à chaque fois augmenté de π/2 car on le multiplie par 0, puis 1, 2, ...



  • 2)a) :
    Utilise les angles de vecteurs : (OMn,OMn+1)= (i,OMn+1) - (i,OMn)= (n+1)π/2 - nπ/2 = π/2 ( le tout modulo 2π)
    Entre parenthèses, ce sont évidemment des vecteurs.

    Pour la 2)b) :
    Citation
    MnMn+1² = OMn² + OMn+1²
    = (8/2n(8/2^n)² + (8/2n+1(8/2^{n+1}
    Maintenant, mets (8/2n+1(8/2^{n+1})² = 64/22n+264/2^{2n+2} en facteur.
    Il y a une façon plus simple de s'en tirer : je te la montrerai après.



  • ok ! Merci beaucoup ! je vais voir l'exercice et je reviendrai plus tard... 😉



  • Dis-moi quand même si tu arrives à trouver la réponse (2b).



  • J'ai un peu cherché, et je ne vois toujours pas comment le mettre en facteur, vu que (8/2n+1(8/2^{n+1}) n'est pas commun aux deux termes.



  • Oui, mais 8/2n8/2^n = 2(8/2n+12*(8/2^{n+1})

    (8/2n(8/2^n)² + (8/2n+1(8/2^{n+1})² = 64/22n64/2^{2n} + 64/22n+264/2^{2n+2}
    $=64/2^{2n+2}$
    = [5<em>64]/22n+2[5<em>64]/2^{2n+2}
    Et donc, en prenant la racine carrée, on a ce qu'on souhaite :
    MnMn+1 = 8
    5/2n+15/2^{n+1}



  • D'accord, merci beaucoup 😃



  • Mais il y a plus simple :

    fichier math
    Puisque 8/2n8/2^n = 2(8/2n+12*(8/2^{n+1}) , on peut poser a = (8/2n+1(8/2^{n+1}), et on obtient directement le résultat.

    Bien sûr, a√5 s'obtient en utilisant le th de Pythagore.



  • J'ai encore 3 questions, sur les suites maintenant.

    1. On considère la suite (Un(U_n) telle que pour tout entier naturel n, UnU_n = MMnM</em>n+1M</em>{n+1}
      Démontrez que la suite (Un(U_n) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    Pour cette question, j'ai trouvé le premier terme avec le théorème de Pythagore : √(8²+4²) = √80 ≈ 8,94
    La raison est q = 0,5 vu que toutes les longueurs sont divisées par 2.
    Mais je ne sais pas exactement comment démontrer ceci.

    1. On pose SnS_n = U0U_0 + ... + UnU_n
      Démontrez que SnS_n = (8√5) × [1 - (1/2n+1(1/2^{n+1})].

    S = (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    = (1 - 0,5n+15^{n+1})/(1 - 0,5)

    Et c'est là que je ne sais pas comment continuer. Je pense pas que 2(1 - 0,5n+15^{n+1}) soit le bon chemin à suivre pour finir.

    1. Déterminer le rang à partir duquel SnS_n ∈ [8√5 - 10410^{-4} ; 8√5].

    J'ai un peu cherché sur cette question, mais je n'arrive absolument à rien, peut-être que j'ai besoin de la réponse de la question 4. ?

    Merci beaucoup de m'avoir déjà bien aidé !



  • Un = MnMn+1 = 8√5/2n+15/2^{n+1} te donne les réponses :
    U0 s'obtient en remplaçant n par 0 (inutile de recommencer Pythagore).
    Un+1 = (1/2)Un , donc la suite est géométrique de raison 1/2 : rien de plus à dire.

    Citation
    S = (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)Tu as oublié U0 !
    Et quand vas-tu remplacer 0.5 par 1/2 ?

    Pour la dernière question, tu dois vérifier deux inégalités.
    L'une d'elles est automatiquement vérifiée.
    Reste 8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5(11/2n+15(1-1/2^{n+1}) qui s'arrange et donne :
    2n+12^{n+1} ≥ 8√5 * 10410^4 = √320 * 10410^4 (vérifie)
    Passe alors aux logarithmes.



  • Merci pour la question 3 !

    Pour la 4, est-ce que je dois bien commencre par cette formule ?
    nino50
    S = (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)

    Et enfin la question 5, je n'ai pas encore étudié les logarithmes, y aurait-il un autre moyen de la réussir ?
    Merci encore.



  • Non : il manque U0 comme je te l'ai dit.



  • Quelle formule dois-je utiliser alors ?



  • SnS_{n }= U0U_0*(1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)



  • D'accord, merci, je vais essayer de faire cette question sans aide.

    Mais pour la question 5, il n'y a pas un autre moyen de trouver ?



  • Il faut trouver n (entier) vérifiant :
    2n+12^{n+1} ≥ √320 * 10410^4 (à vérifier)
    Si tu ne connais pas les logarithmes, tu peux essayer n = 10 , n = 15 ; ...
    pour avoir une idée.



  • Je bloque sur la question 4 quand même :

    SnS_n = U0U_0 × (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    = (8√5)/(2n+15)/(2^{n+1}) × (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    Je pense que je dois finir par mettre (8√5) en facteur, mais je ne sais pas comment continuer.

    Et merci pour la question 5, je me débrouillerais comme ça 😄



  • q vaut 1/2
    Donc 1-q = 1/2
    Sn = U0 × (1 - qn+1q^{n+1})/(1 - q)
    = (8√5)/2(11/2n+15)/2*(1-1/2^{n+1})/(1/2)
    = (8√5)/2(11/2n+15)/2*(1-1/2^{n+1})*2
    = 8√5/(11/2n+15/(1-1/2^{n+1})

    Pour la 5, essaie jusqu'à n = 17



  • Dernière question : Pour le 5, je n'ai pas compris comment on passe de

    8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5 × (1 - 1/2n+11/2^{n+1})

    à

    2n+12^{n+1} ≥ √320 × 10410^4

    Merci beaucoup de m'avoir aidé.



  • On développe :
    8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5 × (1 - 1/2n+11/2^{n+1})
    8√5 - 10410^{-4} ≤ 8√5 - 8√5/2n+15/2^{n +1}
    On simplifie :

    • 10410^{-4} ≤ - 8√5/2n+15/2^{n +1}
      On change de membres :
      8√5/2n+15/2^{n +1} ≤ <10410^{-4}
      On inverse :
      2n+12^{n +1}/8√5 ≥ 10410^4 (attention au sens de l'inégalité)
      On multiplie par 8√5 = √320 :
      2n+12^{n +1}10410^4*√320


  • C'est plus clair comme ça, merci beaucoup 😄



  • De rien.
    Bon courage.


 

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.