angles orientés et suites

Bonjour,
Je suis élève en première scientifique et je rencontre un problème sur un exercice qui combine à la fois de la
trigonométrie, et des suites.

A tout entier on associe le point Mn du cercle de centre O et de rayon $8/2^n$
tel que (vecteur i; vecteur OMn) = n×(π/2)

1]a) En prenant le cm pour unité, construisez les points $M_0$ $M_1$ $M_2$ $M_3$
$M_4$
b)Quelles sont les coordonnées des points dans le repère.

2]a) Quelle est la nature des triangles $OMnM_{n+1}$ justifiez
b) A l'aide du théorème de pythagore, démontrez que MnMn+1= 8√ $5/2_{n+1}$

Pour le résultat de la question 1b je trouve que M0 a pour coordonnées (8 cosvecteur i; 0 sinvecteur j), comme je prends le cm comme unité.
Mais pour M1, je trouve bien (0 cosvecteur i; 4 sinvecteur j).
Je bloque maintenant sur la question 2b : J'utilise le théorème de Pythagore dans le triangle OMnMn+1 rectangle en O.

MnMn+1² = OMn² + OMn+1²
= $8/2^n$ )² + $8/2^{n+1}$ )²

Après avoir développé, mis les deux fractions au même dénominateur, puis additionné les deux fractions, j'arrive à cette fraction :

MnMn+1² = $16^{n+3}$ + $16$ ^{n+2} $2^{4n+2}$ )

Et là, je n'arrive plus à continuer. Pouvez-vous m'aider ? Merci.
J'ai encore 3 questions (suites) ensuite dans le même exercice... mais si vous m'aidez pour celle là, j'essaierai d'abord de les faire seul. Merci d'avance.

Bonjour,
Curieux ce rayon 8/2n
Il pourrait être simplifié.
Et pour n = 0, pas de point M0 ?!
Revois ton énoncé.

Euh, oui, j'ai oublié de mettre des exposants, je modifie mon premier message, désolé.

Citation
je trouve que M0 a pour coordonnées (8 cosvecteur i; 0 sinvecteur j)Ça ne veut rien dire.
M0 a pour coordonnées : (8cos 0 ; 8sin 0) = (8;0)
Remarque analogue pour M1

Pour la 2)a) quelle est ta justification ?

Pour la 2)b) Mets $64/2^{2n+2 }$ en facteur.

PS : revois l'énoncé :
Citation
MnMn+1= 8√ $5/2_{n+1}$

Pour le 2)a), j'ai mis qu'un angle de π/2 = 90°

Et $M$ n $M</em>{n+1}$ correspond à l’hypoténuse de chaque triangle rectangle en l'origine du repère, je crois.

Citation
Pour le 2)a), j'ai mis qu'un angle de π/2 = 90°Naïf.
Ce qui compte c'est pourquoi tu trouves π/2 (ou 90°)

Citation
Et MnMn+1 correspond à l’hypoténuse de chaque triangle rectangle en l'origine du repère, je crois.Et cela me semble superflu : le triangle est rectangle en O (donc MnMn+1 est l'hypoténuse).

Et pour la 2)b) as-tu compris ?

Pour la 2)b), je mets en facteur dès le début ? Ou mon raisonnement était bon ?

2)a) : Je trouve que l'angle est à chaque fois augmenté de π/2 car on le multiplie par 0, puis 1, 2, ...

2)a) :
Utilise les angles de vecteurs : (OMn,OMn+1)= (i,OMn+1) - (i,OMn)= (n+1)π/2 - nπ/2 = π/2 ( le tout modulo 2π)
Entre parenthèses, ce sont évidemment des vecteurs.

Pour la 2)b) :
Citation
MnMn+1² = OMn² + OMn+1²
= $8/2^n$ )² + $8/2^{n+1}$ )²
Maintenant, mets $8/2^{n+1}$ )² = $64/2^{2n+2}$ en facteur.
Il y a une façon plus simple de s'en tirer : je te la montrerai après.

ok ! Merci beaucoup ! je vais voir l'exercice et je reviendrai plus tard...

Dis-moi quand même si tu arrives à trouver la réponse (2b).

J'ai un peu cherché, et je ne vois toujours pas comment le mettre en facteur, vu que $8/2^{n+1}$ ) n'est pas commun aux deux termes.

Oui, mais $8/2^n$ = $2*(8/2^{n+1}$ )

$8/2^n$ )² + $8/2^{n+1}$ )² = $64/2^{2n}$ + $64/2^{2n+2}$
$href="2%C2%B2+1">64/2^{2n+2}$
= $5<em>64]/2^{2n+2}$
Et donc, en prenant la racine carrée, on a ce qu'on souhaite :
MnMn+1 = 8√ $5/2^{n+1}$

D'accord, merci beaucoup

Mais il y a plus simple :

$fichier math$
Puisque $8/2^n$ = $2*(8/2^{n+1}$ ) , on peut poser a = $8/2^{n+1}$ ), et on obtient directement le résultat.

Bien sûr, a√5 s'obtient en utilisant le th de Pythagore.

J'ai encore 3 questions, sur les suites maintenant.

On considère la suite $U_n$ ) telle que pour tout entier naturel n, $U_n$ = $M$ n $M</em>{n+1}$
Démontrez que la suite $U_n$ ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

Pour cette question, j'ai trouvé le premier terme avec le théorème de Pythagore : √(8²+4²) = √80 ≈ 8,94
La raison est q = 0,5 vu que toutes les longueurs sont divisées par 2.
Mais je ne sais pas exactement comment démontrer ceci.

On pose $S_n$ = $U_0$ + ... + $U_n$
Démontrez que $S_n$ = (8√5) × [1 - $1/2^{n+1}$ )].

S = (1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)
= (1 - 0, $5^{n+1}$ )/(1 - 0,5)

Et c'est là que je ne sais pas comment continuer. Je pense pas que 2(1 - 0, $5^{n+1}$ ) soit le bon chemin à suivre pour finir.

Déterminer le rang à partir duquel $S_n$ ∈ [8√5 - $10^{-4}$ ; 8√5].

J'ai un peu cherché sur cette question, mais je n'arrive absolument à rien, peut-être que j'ai besoin de la réponse de la question 4. ?

Merci beaucoup de m'avoir déjà bien aidé !

Un = MnMn+1 = 8√ $5/2^{n+1}$ te donne les réponses :
U0 s'obtient en remplaçant n par 0 (inutile de recommencer Pythagore).
Un+1 = (1/2)Un , donc la suite est géométrique de raison 1/2 : rien de plus à dire.

Citation
S = (1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)Tu as oublié U0 !
Et quand vas-tu remplacer 0.5 par 1/2 ?

Pour la dernière question, tu dois vérifier deux inégalités.
L'une d'elles est automatiquement vérifiée.
Reste 8√5 - $10^{-4}$ ≤ 8√ $5(1-1/2^{n+1}$ ) qui s'arrange et donne :
$2^{n+1}$ ≥ 8√5 * $10^4$ = √320 * $10^4$ (vérifie)
Passe alors aux logarithmes.

Merci pour la question 3 !

Pour la 4, est-ce que je dois bien commencre par cette formule ?
nino50
S = (1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)

Et enfin la question 5, je n'ai pas encore étudié les logarithmes, y aurait-il un autre moyen de la réussir ?
Merci encore.

Non : il manque U0 comme je te l'ai dit.

Quelle formule dois-je utiliser alors ?

$S_{n }$ = $U_0$ *(1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)

D'accord, merci, je vais essayer de faire cette question sans aide.

Mais pour la question 5, il n'y a pas un autre moyen de trouver ?

Il faut trouver n (entier) vérifiant :
$2^{n+1}$ ≥ √320 * $10^4$ (à vérifier)
Si tu ne connais pas les logarithmes, tu peux essayer n = 10 , n = 15 ; ...
pour avoir une idée.

Je bloque sur la question 4 quand même :

$S_n$ = $U_0$ × (1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)
= (8√ $5)/(2^{n+1}$ ) × (1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)
Je pense que je dois finir par mettre (8√5) en facteur, mais je ne sais pas comment continuer.

Et merci pour la question 5, je me débrouillerais comme ça

q vaut 1/2
Donc 1-q = 1/2
Sn = U0 × (1 - $q^{n+1}$ )/(1 - q)
= (8√ $5)/2*(1-1/2^{n+1}$ )/(1/2)
= (8√ $5)/2*(1-1/2^{n+1}$ )*2
= 8√ $5/(1-1/2^{n+1}$ )

Pour la 5, essaie jusqu'à n = 17

Dernière question : Pour le 5, je n'ai pas compris comment on passe de

8√5 - $10^{-4}$ ≤ 8√5 × (1 - $1/2^{n+1}$ )

à

$2^{n+1}$ ≥ √320 × $10^4$

Merci beaucoup de m'avoir aidé.

On développe :
8√5 - $10^{-4}$ ≤ 8√5 × (1 - $1/2^{n+1}$ )
8√5 - $10^{-4}$ ≤ 8√5 - 8√ $5/2^{n +1}$
On simplifie :

$10^{-4}$ ≤ - 8√ $5/2^{n +1}$
On change de membres :
8√ $5/2^{n +1}$ ≤ < $10^{-4}$
On inverse :
$2^{n +1}$ /8√5 ≥ $10^4$ (attention au sens de l'inégalité)
On multiplie par 8√5 = √320 :
$2^{n +1}$ ≥ $10^4$ *√320

C'est plus clair comme ça, merci beaucoup

De rien.
Bon courage.