non dérivabilité d'une fonction en un point



  • Bonjour,

    J'ai une question a faire, c'est : Est ce que cette fonction vous parait' elle dérivable en 1 ? sachant qu'elle est définie par ces deux fonction :

    g(x)=1x\frac{1}{x}x∈[0;1]

    h(x)=x x∈[1;+∞]

    Merci



  • bonjour,

    il suffis de verifier si cette fonction est continu en 1

    c'est a dire , tu calcule limg(x) et limh(x) . que trouve tu?
    x→1 x→1
    < >


  • Modérateurs

    Bonjour,

    La réponse est NON bien sûr .

    Fait la représentation graphique.

    Tu auras bien g(1)=h(1)=1

    Soit A le point de coordonnées (1,1)

    La "demi -tangente "(à gauche) en A , à Cg , n'est pas alignée avec la demi-tangente ( à droite ) en A , à Ch

    Peut-être faut-il que tu démontres tout cela ...


  • Modérateurs

    Non leonel !

    Le fait que la fonction soit continue en 1 ne prouve pas qu'elle est dérivable en 1 !



  • ah ok, jai la tete en lair mais si on calcule

    limh(x)-h(1)/x-1 et limg(x)-h(1)/x-1 lorsque x→1 et que nous ne trouvons pas des reel fini et egals , peut on conclur qu'elle n'est pas derivable?


  • Modérateurs

    C'est à peu près cela , leonel ( mais il faut distinguer la limite à droite et la limite à gauche ) , mais ...c'est poiuytre qui a besoin d'aide ...en principe ...



  • oui, mais se serai pas plus facile de faire comme ca que de verifier si les tangentes a gauche et a droite sont alignee ou pas??
    Bon.. je pense quoi!!!


  • Modérateurs

    leonel , je crois que tu n'as pas compris l'idée de ma piste !

    La question est :
    Citation
    cette fonction vous parait- elle dérivable en 1 ?

    L'illustration graphique est la plus rapide seulement pour comprendre et indiquer si la fonctionparait dérivable ou non dérivable , mais c'est tout !

    Bien évidemment , pour démontrer qu'elle est non dérivable en 1 ,il faut revenir à la définition mathématique

    limx1g(x)g(1)x1=a1\lim_{x\to 1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=a_1 ( à calculer )

    limx1+h(x)h(1)x1=a2\lim_{x\to 1^+}\frac{h(x)-h(1)}{x-1}=a_2 ( à calculer )

    A1A_1A2A_{2 }donc .....................

    Mais , c'estpoiuytre* qui doit poser les questions...



  • ok, mtschoon

    si je comprend bien dans ton idee on a pas besoin de demontrer que les tangentes ne sont pas alignees.??

    faut juste faire le graphe qui prend pas beaucoup de temps(a fin je pense) et constater le non alignement des tangentes??
    graphiquement quoi



  • Le non alignement des tangentes provient directement du fait que les nombres dérivés à gauche et à droite de 1 ne sont pas égaux : les nombres dérivés correspondent aux pentes des tangentes, donc logiquement des nombres dérivés inégaux entraînent des pentes différentes ie des tangentes non alignées.


  • Modérateurs

    Tout à fait Physimath .

    Si poiuytre fait les calculs , il trouvera :

    A1A_1=-1 ( qui sera le coefficient directeur de la demi tangente à gauche , en A )
    A2A_2=1 ( qui sera le coefficient directeur de la demi tangente à droite , en A )



  • Merci de vos réponse en effet je trouve -1 et 1 et deux tangente différente, pour h y=x et pour g y=-x+2 donc j'en déduit que le fonction f définie par ces deux fonctions n'est pas dérivable en 1 ?


  • Modérateurs

    oui,

    Précise que :

    y=x s'applique pour x ≥ 1
    y=-x+2 s'applique pour x ≤ 1


 

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