Etudier la dérivabilité d'une fonction avec valeur absolue



  • Bonjour,

    Il me reste cet exercice à faire et je sèche complètement ! Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
    J'ai déjà fait la représentation graphique de f à l'écran de la calculatrice et la question 2a) et la première partie de la 2b).

    On considère la fonction définie sur R par f(x) = |x²-1|

    1. Afficher la représentation graphique de f à l'écran de la calculatrice.
      Conjecturer l'ensemble de dérivabilité de f en identifiant les points en lesquels la courbe semble ne pas avoir de tangente.

    2a) Montrer que le taux d’accroissement de f en 1 est t(h) = ( |h||h+2| ) / h.

    b) Justifier que si h> 0 alors t(h) = h+2 et si -1<h<0 alors=t(h)= -h-2.
    c) La limite de t(h) quand h tend vers 0 en étant positif est appelée limite à droite de t(h) en 0.
    On note lim t(h). Que vaut cette limite à droite ?
    h -> 0
    h > 0

    d) Déterminer la limite à gauche de t(h) en 0.

    Conclusion : les limites à droite et à gauche de t(h) en 0 ne sont pas égales, on en déduit que la fonction f n'est pas dérivable en 1.

    e) Démontrer de même que la fonction f n'est pas dérivable en -1.

    Merci d'avance !



  • Bonjour,

    Je ne comprends pas ce que tu as écrit pur la question 2)a) :
    Citation
    2a) Justifier que si h> 0 alors t(h) = h+2 et si -1

    Je te donne l'idée générale , si ça peut t'être utile.

    Etude le la dérivabilité à 1

    a)Recherche du nombre dérivé à droite A1

    h > 0 donc |h|=h donc t(h)=|h+2|=h+2

    limh0+t(h)=limh0+h+2=2\lim_{h \to {0^+}} t(h)=\lim_{h \to {0^+}}h+2=2

    Nombre dérivé à droite :a1=2\fbox{a_1=2}

    b)Recherche du nombre dérivé à gauche A2

    h < 0 donc |h|=-h donc t(h)=-|h+2|

    Pour h négatif et supérieur à -2 : h+2 > 0 , |h+2|=h+2 , donc t(h)=-(h+2)=-h-2

    limh0t(h)=limh0(h2)=2\lim_{h \to {0^-}} t(h)=\lim_{h \to {0^-}}(-h-2)=-2

    Nombre dérivé à gauche :a2=2\fbox{a_2=-2}

    CONCLUSION : Vu que A1≠A2 ,f n'est pas dérivable en 1

    Tu utilises la meême démarche pour l'étude de la dérivabilité en -1



  • Ah oui en effet j'ai oublié un morceau de l’énoncer

    b) Justifier que si h> 0 alors t(h) = h+2.
    Et si -1 < h < 0 alors= t(h)= -h-2.

    c) La limite de t(h) quand h tend vers 0 en étant positif est appelée limite à droite de t(h) en 0.

    On note lim t(h). Que vaut cette limite à droite ?
    h -> 0
    h > 0

    Merci pour l'idée, je vais y réfléchir. 🙂



  • Effectivement , il manquait :
    Citation
    Et si -1 < h < 0 alors= t(h)= -h-2.

    Cette affirmation est exacte , mais en réalité , elle est exacte pour -2 < h < 0

    ( ça me semble un peut bizarre que ton énoncé marque "-1" au lieu de "-2" , mais ça n'a pas d'importance pour la dérivabilité vu que h tend vers 0 )

    Remarque : j'ignore tes habitudes .

    dans mon aide :

    h0+h \to{0^+} veut dire : h tend vers 0 par valeurs positives
    h0h \to{0^-} veut dire : h tend vers 0 par valeurs négatives


 

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