Etudier la dérivabilité d'une fonction avec valeur absolue
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LLeeloo dernière édition par Hind
Bonjour,
Il me reste cet exercice à faire et je sèche complètement ! Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?
J'ai déjà fait la représentation graphique de f à l'écran de la calculatrice et la question 2a) et la première partie de la 2b).On considère la fonction définie sur R par f(x) = |x²-1|
- Afficher la représentation graphique de f à l'écran de la calculatrice.
Conjecturer l'ensemble de dérivabilité de f en identifiant les points en lesquels la courbe semble ne pas avoir de tangente.
2a) Montrer que le taux d’accroissement de f en 1 est t(h) = ( |h||h+2| ) / h.
b) Justifier que si h> 0 alors t(h) = h+2 et si -1<h<0 alors=t(h)= -h-2.
c) La limite de t(h) quand h tend vers 0 en étant positif est appelée limite à droite de t(h) en 0.
On note lim t(h). Que vaut cette limite à droite ?
h -> 0
h > 0d) Déterminer la limite à gauche de t(h) en 0.
Conclusion : les limites à droite et à gauche de t(h) en 0 ne sont pas égales, on en déduit que la fonction f n'est pas dérivable en 1.
e) Démontrer de même que la fonction f n'est pas dérivable en -1.
Merci d'avance !
- Afficher la représentation graphique de f à l'écran de la calculatrice.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je ne comprends pas ce que tu as écrit pur la question 2)a) :
Citation
2a) Justifier que si h> 0 alors t(h) = h+2 et si -1Je te donne l'idée générale , si ça peut t'être utile.
Etude le la dérivabilité à 1
a)Recherche du nombre dérivé à droite A1
h > 0 donc |h|=h donc t(h)=|h+2|=h+2
limh→0+t(h)=limh→0+h+2=2\lim_{h \to {0^+}} t(h)=\lim_{h \to {0^+}}h+2=2limh→0+t(h)=limh→0+h+2=2
Nombre dérivé à droite :$\fbox{a_1=2}$
b)Recherche du nombre dérivé à gauche A2
h < 0 donc |h|=-h donc t(h)=-|h+2|
Pour h négatif et supérieur à -2 : h+2 > 0 , |h+2|=h+2 , donc t(h)=-(h+2)=-h-2
limh→0−t(h)=limh→0−(−h−2)=−2\lim_{h \to {0^-}} t(h)=\lim_{h \to {0^-}}(-h-2)=-2limh→0−t(h)=limh→0−(−h−2)=−2
Nombre dérivé à gauche :$\fbox{a_2=-2}$
CONCLUSION : Vu que A1≠A2 ,f n'est pas dérivable en 1
Tu utilises la meême démarche pour l'étude de la dérivabilité en -1
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LLeeloo dernière édition par
Ah oui en effet j'ai oublié un morceau de l’énoncer
b) Justifier que si h> 0 alors t(h) = h+2.
Et si -1 < h < 0 alors= t(h)= -h-2.c) La limite de t(h) quand h tend vers 0 en étant positif est appelée limite à droite de t(h) en 0.
On note lim t(h). Que vaut cette limite à droite ?
h -> 0
h > 0Merci pour l'idée, je vais y réfléchir.
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mtschoon dernière édition par
Effectivement , il manquait :
Citation
Et si -1 < h < 0 alors= t(h)= -h-2.Cette affirmation est exacte , mais en réalité , elle est exacte pour -2 < h < 0
( ça me semble un peut bizarre que ton énoncé marque "-1" au lieu de "-2" , mais ça n'a pas d'importance pour la dérivabilité vu que h tend vers 0 )
Remarque : j'ignore tes habitudes .
dans mon aide :
h→0+h \to{0^+}h→0+ veut dire : h tend vers 0 par valeurs positives
h→0−h \to{0^-}h→0− veut dire : h tend vers 0 par valeurs négatives