Développer et réduire puis résoudre une équation

[dani088]

Bonjour à tous,

Soit la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1{)}^2-2x(x+1)-4$.

1. Développer et réduire $f(x)$.

$f(x)=(x-1{)}^2-2x(x+1)-4$
$=x^2-2x+1-2x^2-2x-4$
$-1x^2-4x-3$

2. Montrer que $f(x)=(x+1)(-x-3)$ pour tout $x$∈$\mathbb{R}$.

Je vois pas :frowning2:

3. En utilisant la forme la mieux adaptée de $f(x)$, répondre aux questions suivantes (préciser quelle forme vous utilisez).
   a) Calculer l'image de -2.

$f(-2)=(-2+1)(-(-2)-3)$
$=(-1)(-1)$
$=1$

L'image de -2 est 1.

b) Est-ce que le point $A(\frac{1}{2};-\frac{21}{4})$ appartient à la courbe f ?
c) Quels nombres ont pour image 0 par f ?
d) Résoudre l'équation f(x)=$-4x-7$.

Merci pour votre aide.

[mathtous]

Bonjour,
question 2 : Puisqu'on te donne la réponse, tu peux développer (x+1)(-x-3) et voir si tu trouves l'expression précédente.

[dani088]

Bonjour mathtous,

Oui je sais mais j'ai un peut de mal à développer (x+1)(-x-3)

Merci

[mathtous]

Tu multiplies chacun des termes de la première parenthèse par chacun des termes de la seconde (ici : 4 produits) :

(x+1)(-x-3) = (x)(-x) + (x)(-3) + ...

[dani088]

merci,

(x+1)(-x-3)
=(x)(-x) + (x)(-3) + 1 * (-x) + 1 * (-3)
=-x²-4x-3

Et la suite je bloque pour trouver (x-1)²-2x(x+1)-4

[mathtous]

Mais non, pas besoin : c'est fait.
-x²-4x-3 c'est ce que tu as déjà trouvé en développant l'expression donnée au départ :
f(x) = (x-1)² +2x(x+1) -4 = -x²-4x-3
Et (x+1)(-x-3) = -x²-4x-3
Donc f(x) = (x+1)(-x-3)
Tu as 3 formes pour f(x) :
f(x) = (x-1)² +2x(x+1) -4 : la forme donnée
f(x) = -x²-4x-3 : la forme développée
f(x) = (x+1)(-x-3) : la forme factorisée.

[dani088]

ok merci j'étais complétement à côté alors :rolling_eyes:

Mais j'ai quand même du mal à voir comment on passe de (x-1)² +2x(x+1) -4 à (x+1)(-x-3)

[mathtous]

Pas directement : par l'intermédiaire de l'écriture développée.
Ce qui semble te gêner, c'est précisément d'avoir développé (x+1)(-x-3).
Mais tu aurais pu aussi bien factoriser -x²-4x-3 en passant par la forme canonique.

[dani088]

Donc : -x²-4x-3
=-x²-4x+4-4-3
=-(x-2)²-7

[mathtous]

Faute de signe :
f(x) = -x²-4x-4+4-3
f(x) = -(x+2)² + 1
f(x) = -[(x+2)² - 1]
Tu peux continuer à factoriser dans le crochet.

[dani088]

f(x) = -[(x+2-1)(x+2+1)]
f(x) = -[(x-1)(x+3)]
f(x) = (
-x+1)(-x-3)

Comment on fait si on a le - or que c'est + ?

[mathtous]

Le - devant le crochet affecte un seul des facteurs : par exemple -(x+3) = (-x-3)
Mais il y a aussi une autre faute sur le premier facteur.
f(x) = -[(x+2-1)(x+2+1)]
f(x) = -(x+1)(x+3)
f(x) = -(x+3)(x+1)
f(x) = (-x-3)(x+1) : le - devant correspond à une multiplication par -1, et
(-1)a.b = (-a).b ou aussi a.(-b), mais pas (-a).(-b)

[dani088]

Merci beaucoup et d'ailleurs j'avais même fait une erreur de calcul.

Ici
Citation
f(x) = -[(x+2-1)(x+2+1)]
f(x) = -[(x
-1)(x+3)]

[mathtous]

Oui, c'est de cette erreur-là que je parlais aussi.
Pour la suite, pas de problème ?
Car je vais bientôt me déconnecter.

[dani088]

Pour le 3. j'ai quelques petits problème

[mathtous]

Ton 2)a) est juste.
Pour le b), calcule f(1/2) avec l'écriture développée.
Pour le c) utilise obligatoirement l'écriture factorisée (produit nul)
Pour le d) utilise l'écriture développée, puis ensuite tu pourras factoriser ce qui reste et utiliser le produit nul (ou raisonner directement sur un nombre dont le carré est connu).

[dani088]

Merci,

b)f(x) = -x²-4x-3
f(1/2) = (-1/2)²-4*1/2-3
f(1/2)=-19/4

Donc A n'appartient pas à la courbe f

[mathtous]

Citation
(-1/2)²-41/2-3Non : le - est en dehors de la parenthèse :
f(1/2) = -(1/2)²-41/2-3
f(x) = -1/4 - 2 - 3 = -21/4

Maintenant je dois me déconnecter.
Je te donne les réponses brutes :
c) deux solutions : -3 et -1
d) deux solutions : +2 et -2

A+

[dani088]

Ok merci beaucoup mathtous

Bonne fin de journée à toi