Exercice de dénombrement.

Bonjour à tous,

j'ai un devoir à faire qui contient 3 exercices. Le problème c'est que je bug grave! Donc si quelqu'un pourrait me donner quelques pistes ce serait génial!

Combien de mélodies de 8 notes peut-on faire si une note est répétée exactement 2 fois et une deuxième note répétée exactement 3 fois ?

Voilà, j'espère que quelqu'un pourra m'aider car c'est très très important!

Merci d'avance

Bonjour,

Une piste possible,

Pour illustrer l'exercice , je te conseille de tracer un axe et de positionner ( par des points ) les 8 notes de ta mélodie.

Pour la note répétée 2 fois , tu dois choisir 2 positions parmi 8 : $(82){{8}\choose{2}}$

Ensuite , pour la note 2eme note répétée 3 fois , tu dois choisir 3 positions parmi 6 : $(63){{6}\choose{3}}$

Enfin , il te reste 3 emplacements où tu mettras des notes différentes des précédentes .
En appelant A ,B ,C ces 3 notes , tu peux placer , dans ces emplacements , A B C ou A C B ou B A C ou B C A ou C A B ou C B A .
Tu as 3! facons ou si tu préfères $(31)×(21)×(11){{3}\choose{1}}\times {{2}\choose{1}}\times {{1}\choose{1}}$

Salut merci de ta réponse rapide et claire!

Voila ce que j'obtiens en multipliant le tout: 3360 mélodies

Est ce que c'est juste?

Ma calculette trouve comme toi pour la multiplication des positions .

Excellent! Encore mille merci !

C'est avec plaisir , mais plus je réfléchis , plus j'ai un doute sur l'interprétation

Comme tu remarqueras , il a souvent des ambiguités sur les énoncés de dénombrement ou probabilité...

Doit-on tenir compte du choix de ces notes ?

S'agit-il de la gamme de Do majeur : DO RE MI FA SOL LA SI DO

Si c'est la cas , il existe 7 notes distinctes ( si on ne s'occupe pas des octaves...) : DO RE MI FA SOL LA SI et les notes sont à choisir parmi ces 7 notes avant d'être postionnées pour faire la mélodie .

Ainsi :

Tu prends 1 note de la gamme parmi 7 que tu positionnes deux fois pour la mélodie
$(71)×(82){{7}\choose{1}}\times{{8}\choose{2}}$

Ensuite , tu prends 1 autre note de la gamme parmi 6 que tu positionnes trois fois pour la mélodie
$(61)×(63){{6}\choose{1}}\times{{6}\choose{3}}$

Enfin , tu prends 3 notes de la gamme parmi 5 que tu ordonnes pour compléter la mélodie
$(53)×3!{{5}\choose{3}}\times3!$

Evidemment , si on tenait compte des autres gammes possibles ( avec différents dièses et bémols ) , ce serait très complexe !

En bref , cet énoncé est ambigu...on pourrait d'ailleurs faire d'autres interprétations sur la phrase "mélodie composée de 8 notes" ; Cet énoncé n'est clair que pour celui qui l'a écrit. Tout dépend de l'interprétation que l'on donne...

Réfléchis à la question...( ou demande à ton professeur , non de le faire , mais d'expliquer ce qu'il faut comprendre ).

Alors la, je n'en ai aucune idée!