Etude d'un lieu géométrique



  • Bonjour à tous ^^
    Voilà j'ai un petit problème et j'espère que vous allez pouvoir m'aider 🙂

    Le plan est rapporté au repère orthonormé (O; i; j)
    Pour tout point M de l'axe des ordonnées, on appelle:
    -dM la droite passant par le point M et de vecteur directeur (2;-1)

    • N le point d'intersection de la droite dM avec l'axes des abscisses
    • P le milieu du segment [MN]

    L'objet de l'exercice est de déterminer l'ensemble Γ des points P lorsque le point M décrit l'axe des ordonnées.

    1- On note (0;b) les coordonnées du point M avec b un réel quelconque.
    a- Déterminer une équation cartésienne de la droite dM.
    b- Déterminer les coordonnées du point N.
    c- Démontrer alors que le point P a pour coordonnées (b;b/2).

    2- Démontrer que, pour tout point M de l'axe des ordonnées, le point P appartient à la droite Δ d'équation y=x/2. Que peut-on alors dire de l'ensemble Γ des points P par rapport à la droite Δ ?

    3- Réciproquement, montrer que tout point de la droite Δ d'équation y=x/2 est un point de l'ensemble de l'ensemble Γ (indication: on pourra montrer que pour tout point P de la droite Δ, la droite passant par P et de vecteur directeur u, coupe les axes en deux points M et N tels que P soit le milieu du segment [MN]).

    4- Conclure sur le lieu des points P lorsque le point M décrit l'axe des ordonnées.

    Voici mes pistes de travail:

    1a) -x-2y+c=0 M(0;b) vecteur u(2;-1)
    M∈dM ⇔ -10-2b+c=0 ⇔ -2b+c=0 ⇔ c=2b donc -x-2y+2b=0

    b) -x-2y+2b=0
    -x+2b=0 car N ∈ à l'axe des abscisses
    donc N(-x+2b;0)
    La réponse doit être fausse car j'en ai besoin pour la question suivante et du coup mon résultat n'est pas correct. J'ai donc fait comme si j'avais trouvé la bonne réponse à cette question pour la question suivante.

    c- M(0;b) N(2b;0)
    xp=(0+2b)/2=b et yp=(b+0)/2=b/2 donc P (b;b/2)

    Et maintenant je suis totalement perdu, je ne comprends plus rien :/. J'espère que vous pourrez m'aider ^^'. Merci d'avance :).
    N(



  • Bonjour,
    Citation
    -x+2b=0 car N ∈ à l'axe des abscisses
    donc N(-x+2b;0)Non : x = 2b, et y =0, donc N:(2b;0).



  • Merci. Pourriez vous m'expliquer la question 2 s'il vous plaît ?



  • Le point P a pour coordonnées (b;b/2) : son ordonnée est la moitié de son abscisse. Ces coordonnées vérifient donc : ordonnée = 1/2.abscisse, c'est-à-dire y = x/2.
    Le point P est donc sur la droite Δ.
    L'ensemble Γ de tous les points P est donc inclus dans cette droite.



  • Merci infiniment et bonne soirée ^^



  • Bonsoir,

    J'ai également un soucis avec ces question :

    1. Vérifier que tout point de la droite Δ est un point de l'ensemble Γ.

    Indication :: Prendre un point P quelconque de la droite Δ, et montrer que la droite passant par le point P et de vecteur directeur u coupe les axes de coordonnées en des points M et N tels que le point P est le milieu du segment [MN].

    1. Conclure

    Pourriez-vous m'éclairer s'il vou plait ?


 

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