pyramide à base carrée


  • C

    Bonjour,

    Exercice :
    SABCD est une pyramide régulière de sommet S, dont la base ABCD est un carré de côté a de centre O , et dont les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.

    1. Quelle est la nature du triangle ASC ?
      Donner les mesures de chacun de ses côtés en fonction de a.
    2. Quelle est la nature du triangle ASO ?
      Calculer la longueur du segment [SO], hauteur de la pyramide, en fonction de a.
    3. Quelle est la mesure de l'angle ASO ? de l'angle ASC ?
    4. Déduire de la question 2) le volume de la pyramide SABCD en fonction de a.
    5. Faire un patron et une représentation en perspective cavalière de cette pyramide en prenant
      a = 4 cm.

    Voici mes réponses :

    1. Le triangle ASC est un triangle isocèle.
      AS = a
      SC = a
      AC = aV2 ???? (je suis pas sur, j'ai dit ça comme ça)

    La pyramide est régulière, donc [SO] est la hauteur de cette pyramide et le triangle ASO est rectangle en O. La longueur d'une diagonale d'un carré de côté a est a√2.

    OA = (a2)/2
    SA² = OA² + OS²
    OS² = SA² - OA² = a² - (2a²)/4 = (4a²)/4 - (2a²)/4 = (2a²)/4

    OS = ((2a²)/4) = (a2)/2

    Sin S = opposé / hypothénuse = ( aV2 / 2 )/ a
    Sin S = V2/2
    SO = AO = V2/2
    dans un triangle rectangle isocèle les angles à la base sont égaux et mesurent 45°
    Donc le triangle ASO est rectangle et isocèle.
    le triangle AOS,est rectangle et isocèle en O et le triangle SOC est lui aussi rectangle et isocèle en O donc l'angle OSC mesure 45°
    Donc :
    ASC = ASO + OSC = 45 + 45 = 90°

    V = (B x h )/3
    V = (a² x (aV2)/2 ) /3

    fichier math

    Pouvez vous m'aider car je ne sais pas trop comment expliquer mes calculs, quels phrases il faut mettre et comment présenter mes calculs et il y a plusieurs calculs que je ne suis pas du tout sur et pouvez vous me dire si mes réponses sont bonnes s'il vous plait. Merci.


  • mtschoon

    Bonjour,

    On pourrait croire ( ou on croit ) que tu as recopié des calculs que tu n'as pas fait toi-même...!

    La source :

    [http://www.ilemaths.net/forum-sujet-413930.html]](http://www.ilemaths.net/forum-sujet-413930.html "http://www.ilemaths.net/forum-sujet-413930.html]")

    1. AC=a√2 : diagonale du carré ABCD de côté a

    Citation
    OA = (a2)/2mal recopié : OA=a22OA=\frac{a \sqrt 2}{2}OA=2a2

    Citation
    OS = ((2a²)/4) = (a2)/2bizarre...

    OS2=2a24OS^2=\frac{2a^2}{4}OS2=42a2

    OS=a22OS=\frac{a\sqrt 2}{2}OS=2a2

    Pour la 4) , tu peux terminer le calcul :

    V=a326V=\frac{a^3 \sqrt 2}{6}V=6a32

    Pour la 5) , il manque le patron de la pyramide.

    Regarde le principe ici :

    http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/pyramide.htm


  • C

    Merci pour vos corrections, donc voici les réponses :

    1. Le triangle ASC est un triangle isocèle.
      AS = a car les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.
      SC = a car les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.
      AC² = a²+a²
      AC = V(a²+a²)
      AC = V(2a²)
      AC = aV2 : diagonale du carré ABCD de côté a

    2. La pyramide est régulière, donc [SO] est la hauteur de cette pyramide et le triangle ASO est rectangle en O et est isocèle.
      Par Pythagore on a :
      SA² = AO²+SO² <=> SO² = SA² - AO² = a² - (aV2/2)² = a² - 2a²/4 = a²/2
      Donc SO = V(a²/2) = a/V2 = aV2 /2 = AO

    3. OS = OA = aV2/2 = a / V2
      Donc le triangle ASO est un triangle rectangle et isocèle en O.
      Or, dans un triangle rectangle isocèle les angles à la base sont égaux et mesurent 45°
      donc angle ASO (chapeau dessus) = 45°

    le triangle SOC est lui aussi rectangle et isocèle en O donc l'angle OSC mesure 45°
    Donc :
    angle ASC = angle ASO + angle OSC = 45 + 45 = 90°
    Donc le triangle ASC est isocèle en S.

    1. V = (B x h )/3
      V = (a² x (aV2)/2 ) /3
      V = (a³V2)/6

    Pouvez vous m'aider et me dire si les réponses sont bonnes s'il vous plait. Merci.


  • mtschoon

    Cela me semble correct.


  • C

    Mais pour le patron de la question 5) le mien n'était pas bon ? Je ne sais pas comment le faire.


  • mtschoon

    Je ne vois pas ton patron.

    Je vois une représentation en perspective cavalière.

    Pour faire un patron , regarde le lien que je t'ai donné.

    Le patron est le dessin à plat des faces du solide.


  • C

    D'accord. Donc est ce que ce patron est bon : (le 2 ème dans l'image)

    fichier math


  • mtschoon

    Presque.

    Les quatre triangles doivent être équilatéraux.


  • C

    D'accord. Donc voici mon patron (fait à la main) :

    fichier math

    Pouvez vous me dire si le patron est bon. Merci.


  • mtschoon

    Si le quadrilatère est bien carré et les triangles bien équilatéraux , ça peut aller , mais le principe de patron de ton schéma précédent est plus esthétique.


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