trajectoire d'une balle, fonction

Bonsoir à tous

La trajectoire d'une balle de jeu est donnée par: $h(x)=-5x^2+10x+15$
Ou x est le temps écoulé depuis le lancement en l'air, exprimé en secondes, avec x∈ [0;3] et h(x) est la hauteur de la balle au-dessus du sol, exprimée en mètres.

Dresser le tableau de valeurs de h sur [0;3] en choisissant un pas de 0,2.

x 0 / 0,2 / 0,4 / 0,6 / 0,8 / 1 / 1,2 / 1,4 / 1,6 / 1,8 / 2 / 2,2 / 2,4 /2,6 / 2,8 / 3
f(x) 15 / 16,8/ 18,2/19,2 / 19,8/ 20 /19,8 /19,2 /18,2 /16,8 /15 / 12,8/10,2 /7,2 / 3,8 / 0

Représenter cette fonction dans un repère orthogonal (unités: 4 cm pour 1 s en abscisse et 2 cm pour 5 m en ordonnée).

$fichier math$

a) D'après la représentation graphique, quelle hauteur maximale semble atteindre la balle?

La hauteur maximale que semble atteindre la balle est de 20 mètres de haut.

b) Déterminer graphiquement l'ensemble des instants pour lesquels la balle atteint une hauteur d'au moins 15 mètres.

Graphiquement l'ensemble des instants pour lesquels la balle atteint une hauteur d'au moins 15 mètres est 0 secondes et 2 secondes.

c) Résoudre graphiquement l'équation h(x)=18. En donner une interprétation concrète.

L'équation h(x)=18 a pour solution 0,4 et 1,6 mais pour une interprétation je bloque totalement :frowning2:

a) Démontrer que $h(x)=-5(x-1)^2+20$ pour tout x∈[0;3]. Retrouver ainsi le résultat de la question 3.a).

Là je ne vois pas :frowning2:

b) Démontrer que h(x)=18 équivaut à $(x−1)2−25=0(x-1)^2-\frac{2}{5}=0$ pour x∈[0;3]. Retrouver ainsi algébriquement le résultat de la question 3.c).

Je pense qu'il faut résoudre h(x)=18

-5(x-1)²+20=18

Merci à vous

Bonjour,

Oui pour 1) 2) 3)a 3)b et 3)c

Pour l'interprétation concrète du 3)c , tu peux dire que la balle est à la hauteur de 18m ( par rapport au sol ) après ( approximativement) 0.4 et 0.6 seconde du lancement .

Pour la 4)a , je suppose que tu as prouvé que $h(x)=-5(x-1)^2+20$

Un carré est toujours positif : $(x−1)2≥0(x-1)^2 \ge 0$

En mullipliant par -5 : $−5(x−1)2≤0-5(x-1)^2 \le 0$

Le maximum de $5(x-1)^2$ est donc 0 qui est obtenu pour x=............

La maximum de f est donc .............

Bonjour mtschoon et merci pour ta réponse

4)a. $h(x)=-5(x-1)^2+20$

= -5x² + 10x + 15
= -5(x² -2x) + 15

Pour la suite je bloque.

Tu ajoutes et tu enlèves 5 :

$5(x^2-2x)+15=-5(x^2-2x)-5+5+15=-5(x^2-2x+1)+20=...$

=-5(x - 1)² + 20

Mais je ne comprends pas pour cette étape :rolling_eyes:
-5(x²-2x)
-5+5+15

C'est un astuce possible pour faire apparaître l'identité remarquable (x-1)²

-5(x²-2x)
-5+
5+15 =[-5(x²-2x)
-5]+[
5+15]=[-5(x²-2x+1)]+20=-5(x-1)²+20

Autre méthode : Tu peux faire autrement en remplaçant x²-2x par (x-1)²-1

-5(x² -2x) + 15=-5[(x-1)²-1]+15=-5(x-1)²+5+15=-5(x-1)²+20

Evidemment , le plus simple est de se contenter de faire une vérification en développant -5(x-1)²+20 et de trouver -5x² + 10x + 15 mais vu que l'énoncé précise "Démontrer" , une vérification n'est pas suffisante...

Merci beaucoup je comprends mieux.

Pour la 4)b.

-5(x-1)²+20=18
-5(x-1)²=18-20
-5(x-1)²=-2
5(x-1)²=2
(x-1)²=2/5
(x-1)²-2/5=0

(x-1-√2/5)(x-1+√2/5)=0
Si AB=0 alors A=0 ou B=0
x-1-√2/5=0
x=1-√2/5 ≈0,36≈0,4

ou

x-1+√2/5=0
x=1+√2/5≈1,63≈1,6

Donc on retrouve bien algébriquement le résultat de la question 3)c. c'est-à-dire 0,4 et 1,6

Evidemment je suppose qu tu as voulu écrire $x=1+25x=1+\sqrt {\frac{2}{5}}$ et $x=1−25x=1-\sqrt {\frac{2}{5}}$

C'est bon .

Tu as bien travaillé !

Oui c'est ça mtschoom

Bonjour mtschoom

Je reviens pour la question 4)a.

Un carré est toujours positif : $(x−1)2≥0(x-1)^2 \ge 0$

En multipliant par -5 : $−5(x−1)2≤0-5(x-1)^2 \le 0$

Le maximum de - $5(x-1)^2$ est donc 0 qui est obtenu pour x=1 car

(-5x+5)²=0
Si X²=0 alors X=0
-5x+5=0
x=1

La maximum de f est donc 20

Oui.

La fonction s'appelle h dans ton énoncé .

h(1)=20