Etude des variation d'une fonction

Bonjour tout le monde
J'ai des difficultés avec les maths.Un bon coup de main m'aiderais beaucoup !

Voici l'exercice :
On considérée la courbe C d'équation y=4-x²
Soit M un point de C d'abscisse t appartenant ]0;2]
La tangente à C en M coupe l'axe des abscisses en P et l'axe des ordonnées en Q. Déterminer t pour que l'aire du triangle OPQ soit minimum.

Voici ce j'ai fait :
j'ai trouvé la dérivée qui est -2x
et l'équation de la tangente au point t y'=-2tx+t²+4 est ce correct ? et que dis je faire par la suite ?

Bonjour,

L'équation de la tangente est bonne mais n'écrit pas y'

c'est

$y=-2tx+t^2+4$

Piste pour la suite ,

Tu poses :

$g(t)=aire(opq)=op×oq2g(t)=aire(opq)=\frac{op \times oq}{2}$

$op=x_p$

$x_P$ est la solution de -2tx+t²+4=0 Tu calcules

$oq=y_q$

$y_Q$ vaut -2t.0+t²+4=t²+4

Tu peux dons exprimer g(t) en fonction de t

Pour t appartenant à ]0,2] , tu étudies las variations de g et tu en déduiras le maximum.

Bonjour, j'ai étudier un post sur le même exercice que je vais vous proposer mais je ne comprends pas certaines chose.

Exercice: On considère la courbe C d’équation y= 4-x²
Soit M un point de C d'abscisse t ∈ ]0;2]
La tangente à C en M coupe l'axe des abscisses en P et l'axe des ordonnées en Q.
Déterminer t pour que l'aire du triangle OPQ soit minimum.

J'ai donc dans un premier temps étudier le cas avec Geogebra pour avoir les idées claires.
Ensuite j'ai calculer la dérivée de 4-x² qui vaux y'=-2x.
Par la suite j'ai calculer l’équation de la tangente:
y= -2t(x-t)+4-t²
y= -2tx+t²+4

J'ai donc Aire(OPQ)= (OP x OQ) /2
OP=Xp, pour trouver Xp je calcul -2tx+t²+4=0
Delta= (-2tx)²-16t²
delta= 4(tx)²-16t²
delta=√2tx-4t

x1= (2tx-2tx+4t)/2= 2t
x2= (2tx+2tx-4t)/2= 2tx-2t

Mais je ne sais en aucun cas a quoi corresponds OP.

Pour le calcul de OQ=Yq on résous Yq= -2t*0+t²+4=t²+4

Donc on as ou: A(OPQ)= (2t(t²+4))/2 = t³+4t
................ ou: A(OPQ)= ((2tx-2t)(t²+4))/2 = (2t³x+8tx-2t³-8t)/2 = t³x+4tx-t³-4t = x(t³+4t)-(t³+4t)

Mais après cela je suis perdu ....

J'espere une aide précieuse, merci beaucoup

Je te calcule OP et OQ simplement.

P est le point de la tangente appartenant à l'axe des abscisses: son ordonnée vaut 0

0=-2tx+t²+4 <=> 2tx=t²+4 (équation du premier degré)

D'où $x=op=t2+42tx=op=\frac{t^2+4}{2t}$

Q est le point de la tangente appartenant à l'axe des ordonnées : son abscisse vaut 0

$y=oq=2t(0)+t^2+4=t^2+4$

Ensuite, tu calcules l'aire du triangle

Ca me fait donc
=(((t²+4)²)/2t)/2
=(t³+4t)/2= t³/2+2t
qui n'est pas simplifiable, donc je ne voit pas le rapport avec la question de l'exercice: Determiné t pour que l'aire soit minimale, vu que la réponse est 1,19 par observation geogebra, alors qu'avec ce que je trouve si t=0, A(OPQ)=0 je ne comprend vraiment rien, si je pouvais avoir d'autre piste par rapport au calcul de t pour que A(OPQ) soit minimale ce serai une grande aide,

Merci

Ta simplification de g(t) est fausse

Revois : tu dois trouver, sauf erreur

$g(t)=(t2+4)24tg(t)=\frac{(t^2+4)^2}{4t}$

Ensuite, tu calcules g'(t) et son signe sur ]0,2]

Je trouve bien (t²+4)²/4t, ensuite j'etudie le signe de g(t) donc
x............ / 0............2
t²+4....... /......+......0
4t........... /0....+........
(t²+4)²/4t/0....+......0

Mais ensuite comment trouver la valeur de t puisqu'il n'y as pas de trinôme pour calculer alpha et bêta, si tu as des pistes je prendrais volontiers

Merci

Le signe de g(t) ne sert à rien pour trouver les variations de g ( regarde ton cours)

Tu confonds g'(t) et sa dérivée g'(t)

Relis mon dernier post.

Je t'ai écrit :

Citation
Ensuite, tu calcules g'(t) et son signe sur ]0,2]

Je calcul donc g'(t):
g'(t)=(t²+4)²/4t
......=2(t²+4)/4t
......=2t²+4/4t
......=(4t*4t-4(2t²+4))/16t²
......=(16t²-8t²-16)/16t²
......=(1/2)-(1/t²)

apres je résous 1/2-1t²=0 ? ce qui me fait 1/2=1/t² → 2=t² →t=√2 ??

Ton calcul de dérivée est très bizarre...

Utilise la dérivée d'un quotient.

Quand tu auras fait ton calcul correctement, il ne faudra surtout pas développer le numérateur, il faudra penser à mettre (t²+4) en facteur au numérateur.

Tu devras trouver :

$g′(t)=(t2+4)(12t2−16)16t2g'(t)=\frac{(t^2+4)(12t^2-16)}{16t^2}$

Après simplification par 4 :

$g′(t)=(t2+4)(3t2−4)4t2g'(t)=\frac{(t^2+4)(3t^2-4)}{4t^2}$

Bon calcul !

Je n'ai pas encore vu de formle de dérivée au carré sauf x²=2x

La dérivée de [U(t)]² est 2U(t)U'(t)

( si tu ne la connais pas, tu peux la trouver avec le dérivée d'un produit )

Donc, la dérivée de (t²+4)² est 2(t²+4)(2t)=4t(t²+4)

Je ne comprend vraiment rien a la fin de l'exercice ...., tu ne peut pas m'avancer au calcul de T stp ?

Lorsque tu auras g'(t), tu étudies son signe sur ]0,2]

Vu que (t²+4) et 4t² sont positif, g'(t) est du signe de (3t²-4)

Tu as donc seulement à étudier le signe de (3t²-4) sur ]0,2]