Comment montrer qu'une suite est convergente

Bonjour,

J'aurais besoin d'un coup de main sur l'exercice suivant :

Soit (Un) une suite minorée telle que $U_{n+m}$ ≤ $U_n$ + $U_m$
Montrer que la suite $U_n$ /n) est convergente.

J'ai réussi à montrer (par récurrence) que pour tout n, Un/n ≤ $U_1$ . Donc que la suite (Un/n) est majorée. Et comme Un est minorée, (Un/n) est bornée.
J'ai pensé à utiliser Bolzano-weierstrass, mais je n'arrive pas à aboutir... Est-ce que vous auriez une idée ?

Merci de votre aide !

Bonsoir.

OK ! Tu prends donc une suite $n_k$ strictement croissante telle que la suite $unknk\dfrac{u_{n_k}}{n_k}$ converge vers une limite $ℓ\ell$ .

Maintenant, tu te fixes un entier $n≠0n\neq0$ et tu effectues la division euclidienne de $n_k$ par $n$ :
$n_k = n q_k + r_k$ . Tu vas obtenir une majoration pour $unknk\dfrac{u_{n_k}}{n_k}$ d'après la relation $un+m≤un+umu_{n+m} \leq u_n + u_m$ et tu fais tendre $k$ vers l'infini.

Bonjour Ostap_bender,

Merci pour ta réponse, grâce à ton raisonnement j'arrive à montrer que pour tout n, Un/n ≥ l, mais je n'arrive pas à trouver de majoration satisfaisante ou à trouver un autre raisonnement me permettant de conclure sur la convergence de la suite... Aurais-tu une autre piste pour m'aider ?

Merci d'avance !

Si ton égalité $unn≥ℓ\frac{u_n}n\geq \ell$ est vraie pour tout entier $n>0$, c'est vrai aussi en extrayant n'importe quelle sous-suite convergente.
Je rappelle que $ℓ\ell$ est la limite d'une sous-suite convergente quelconque.
Des fois que.

Merci beaucoup !
J'étais parti sur un mauvais raisonnement...