Comment montrer qu'une suite est convergente


  • B

    Bonjour,

    J'aurais besoin d'un coup de main sur l'exercice suivant :

    Soit (Un) une suite minorée telle que Un+mU_{n+m}Un+mUnU_nUn + UmU_mUm
    Montrer que la suite (Un(U_n(Un/n) est convergente.

    J'ai réussi à montrer (par récurrence) que pour tout n, Un/n ≤ U1U_1U1. Donc que la suite (Un/n) est majorée. Et comme Un est minorée, (Un/n) est bornée.
    J'ai pensé à utiliser Bolzano-weierstrass, mais je n'arrive pas à aboutir... Est-ce que vous auriez une idée ?

    Merci de votre aide !


  • O

    Bonsoir.

    OK ! Tu prends donc une suite nkn_knk strictement croissante telle que la suite unknk\dfrac{u_{n_k}}{n_k}nkunk converge vers une limite ℓ\ell.

    Maintenant, tu te fixes un entier n≠0n\neq0n=0 et tu effectues la division euclidienne de nkn_knk par nnn:
    nk=nqk+rkn_k = n q_k + r_knk=nqk+rk. Tu vas obtenir une majoration pour unknk\dfrac{u_{n_k}}{n_k}nkunk d'après la relation un+m≤un+umu_{n+m} \leq u_n + u_mun+mun+um et tu fais tendre kkk vers l'infini.


  • B

    Bonjour Ostap_bender,

    Merci pour ta réponse, grâce à ton raisonnement j'arrive à montrer que pour tout n, Un/n ≥ l, mais je n'arrive pas à trouver de majoration satisfaisante ou à trouver un autre raisonnement me permettant de conclure sur la convergence de la suite... Aurais-tu une autre piste pour m'aider ?

    Merci d'avance !


  • O

    Si ton égalité unn≥ℓ\frac{u_n}n\geq \ellnun est vraie pour tout entier $n>0$, c'est vrai aussi en extrayant n'importe quelle sous-suite convergente.
    Je rappelle que ℓ\ell est la limite d'une sous-suite convergente quelconque.
    Des fois que.


  • B

    Merci beaucoup !
    J'étais parti sur un mauvais raisonnement...


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