Trigonométrie difficile


  • S

    Bonjour
    j'ai un devoir à faire mes je rencontre quelques difficultés avec la trigonométrie j'ai besoin de vos explications s'il vous plaît. Merci

    1°) trace un demi cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] tels que AB = 2r.
    Soit M un point du demi-cercle plus proche de B que A. Quelle est la nature du triangle AMB? justifier.
    2°) Soient a et b les mesures en degrés respectives des angles BAM et BOM; C le pied de la hauteur du triangle AMB issue de M.
    a) Donner deux expressions différentes de cos a.
    b) En déduire AC = AM cos a et AM² = AB x AC.
    c) On sait que AC = AO + OC.
    Exprimer OC en fonction de cos b puis en déduire que AC = r (1+ cos b).
    d) Déduire des questions précédentes que cos² a = (1+cos b) / 2.

    Réponses:
    1°) M est un point du demi-cercle (C) et que AB est le diamètre de ce demi-cercle.
    Si un triangle a pour hypothénuse le diamètre de son cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle.
    Donc le triangle AMB est rectangle en M.

    2°) a) deux expressions diférentes de cos a: cos a = AM/AB ou cos a = AC/AM.
    b) On sait que cos a = AM/AB ou cos a = AC/AM on a:
    cos a = AC/AM d'où AC = cos a AM.
    D'autre part AM/AB = AC/AM alors AM² = AC x AB.
    c) On sait que AC = AO + OC. Exprimons OC en fonction de cos b puis en déduire que AC = r (1+ cos b).
    C'est à partir de là que je ne comprends pas du tout...


  • M

    bonjour,
    Ce que tu as répondu pour les premieres questions est bon. Apres pour la 2)c)pour exprimer OC en fonction de cos b tu te places dans le triangle rectangle OCM où tu en déduis OC comme tu l'as fais pour AC.
    Ensuite pour en déduire AC = r (1+ cos b), tu utilise la formule qu'on te donne: AC = AO + OC, où tu remplaces OC par le résultat que tu viens de trouver, sachant que AO est un rayon du cercle (C) donc que sa mesure est AO=r. Tu remarques aussi que OM est aussi un rayon donc que OM=r aussi. Tu fais le calcule et tu trouves AC = r (1+ cos b).
    Pour la d) tu te sers des formules que tu as precedement demontré: AM² = AC x AB
    Ne remplaces pas AC par ce que tu viens de trouver, ce serait trop compliqué et des erreurs de calcul sont plus que probable, contentes toi de cos a = AC/AM, d'où tu extrait AC. Ensuite tu resous l'équation et tu trouve l'expression cos² a = (1+cos b) / 2
    bon courage


  • S

    Merci Momo35
    2c) dans le triangle rectangle OCM on a:
    cos b = OC/OM donc OC = OM cos b
    On sait que AC = AO + OC d'où AC = r + r cos b = r (1 + cosb)
    2d) On sait que: AM² = AC x AB et que cos a = AC/AM mais je coince a partir de là


  • M

    2d) On sait que: AM² = AC x AB et que cos a = AC/AM
    Tu sors AC de ta relation cos a = AC/AM et tu le remplace dans AM² = AC x AB. Tu te retrouve avec AM comme produit de chaque coté donc tu simplifies. Il te reste donc AM= AB x cos a. AB est le diametre donc AB=2r. Tu remplaces AB. Tu sais que AM= AC/cos a. Tu remplaces AM et tu isoles les cos a d'un coté. A ce moment la tu peux remplacer AC par la valeur que tu as trouver dans la c) et tu simplifies. Tu finis par trouver cos² a = (1+cos b) / 2


  • S

    AM² = AC x AB et cos a = AC/AM
    AC = cos a AM
    AM² = cos a AM x AB (je simplifie par AM comment?) ( ici j'ai mal compris)
    AM = cos a x AB
    AM = cos a x 2r
    On sait que AM = AC/ cos a on a
    cos a x 2r = AC cos a
    cos² a = AC/ 2r
    cos² a = r ( 1 + cos b) / 2r
    cos ² a = 1 + cos b / 2


  • M

    C'est ça. la simplification consistait comme l'as fait à diviser de chaque côté par AM. Par contre n'oublie pas tes parenthese à la fin c'est cos ² a = (1 + cos b) / 2 car ce n'est pas seulement cos b qui est divisé par deux mais toute la somme.


  • S

    Oui donc cos ² a = (1 + cos b) / 2
    Merci très sincèrement Momo35


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