Déterminer la valeur approchée d'un angle à 0,1 degré près



  • bonjour je ne comprend pas cet exercice:
    ABCD est un carré de coté x
    I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD]
    On note a une mesure en degré de l'angle IAJ
    en calculant de 2 facons le produit scalaire AI.AJ
    Determiner une valeur approchée de a à 0,1 degré près.

    Si quelqu'un peut m'aider merci



  • Bonjour,
    Commence par effectuer la figure.



  • C'est bon



  • Tu as la réponse ?



  • Non j'ai fais la figure



  • Tu peux appliquer la définition du produit scalaire :
    vect AI . vect AJ = ...



  • AI.AJ = Ai x AH
    = Ai x AJ x cos(AI.AH)



  • H est le projeté de I sur (AJ) ?
    Et i, c'est I ?
    Joins ta figure.



  • fichier math



  • Mais il n'y a pas de H ni de i.
    Par définition :
    vect AI . vect AJ = AIAJcos(vect AI , vect AJ)
    vect AI . vect AJ = AIAJcos a.
    Calcule AI et AJ.



  • je ne comprend pas



  • Qu'est-ce que tu ne comprends pas : la définition du produit scalaire, ou comment calculer les distances AI et AJ ?



  • comment calculer les distances



  • Tu as dû entendre parler du th de Pythagore ?
    Bien entendu, ces distances s'exprimeront en fonction de x.



  • Bon alors le H c'est le projeté orthogonal sur la segment [AI] et ensuite oui il y a un I.



  • Reprenons...
    On doit calculer le produit scalaire AI.AJ de de manière pour trouver l'angle IAJ.
    Ma première idée : AI.AJ = AI x AJ
    = AI x AJ x cos IAJ
    = AI x AH x cos (AI,AH)
    Maintenant comment trouvé le cos de AI.AH ?

    Pour trouver AI.AJ ensuite c'est simple il suffit de mettre le carré dans un répère et on obtient : AI.AJ = 4x2+2x4 = 16



  • fichier math
    Bon.
    Il y a H et I mais pas i.
    Je reprends :
    vect AI . vect AJ = vect AJ . vect AH ( produits scalaires)
    = distance AJ * distance AH (car les vectaurs AJ et AH sont colinéaires et de même sens)
    = dist AJ * dist AI * cos a
    Tu dois donc calculer les distances AI et AJ en fonction de x (th de Pythagore).

    Citation
    Reprenons...
    On doit calculer le produit scalaire AI.AJ de de manière pour trouver l'angle IAJ.
    Ma première idée : AI.AJ = AI x AJ
    = AI x AJ x cos IAJ
    = AI x AH x cos (AI,AH)
    Maintenant comment trouvé le cos de AI.AH ?

    Pour trouver AI.AJ ensuite c'est simple il suffit de mettre le carré dans un répère et on obtient : AI.AJ = 4x2+2x4 = 16Je n'avais pas vu ce message : je préparais ma réponse au précédent.

    Il y a là plusieurs erreurs, notamment la confusion entre vecteurs et distances.
    Le côté du carré n'est pas donné : c'est x.



  • D'accord, merci mais alors à quoi ça nous amène pour trouver a ?



  • On te demande de calculer le produit scalaire de deux manières.
    C'est seulement quand tu auras terminé les deux calculs que tu pourras les comparer et en déduire cos a puis a.
    Pour commencer, tu n'as pas encore terminé le premier calcul. Calcule les distances AI et AJ comme je te l'ai conseillé.
    Ensuite seulement, on verra la seconde manière.



  • Ok chef ! 🙂



  • Mais ne traîne pas car le chef se déconnecte souvent assez tôt...



  • On prend le triangle AJD pour AJ :
    AJ² = AD² +DJ²
    AJ² = x² + x/2 ²
    AJ est une longeur, donc nombre positif...
    AJ = √x² + x/2²
    AJ = x+ x/2

    c'est ça ?



  • Pour AI on prend ABI
    AI² = AB² + BI²
    AI² = x² + x/2 ²
    AI est une longeur donc nombre positif...
    AI = √x² +x/2²
    AI = x + x/2 aussi ?



  • Non. Tu commets une erreur basique : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
    AJ² = x² + (x/2) ² ( n'oublie pas les parenthèses).
    Ce qui donne AJ² = x² + x²/4 = 5x²/4
    Inutile de prendre la racine carrée car AI = AJ et dans le calcul
    vect AI . vect AJ = dist AJ * dist AI * cos a , AJ*AI = AJ²
    Tu obtiens donc vect AI . vect AJ = (5x²/4) * cos a

    Maintenant, tu vas recommencer à calculer ce produit scalaire d'une autre façon.
    Je te conseille de décomposer :
    vect AI = vect AB + vect BI
    Et une décomposition analogue pour AJ.



  • D'accord j'ai compris le début merci beaucoup. Mais pour la suite je vois où ça mène, et qu'est ce qu'une décomposition analogue ?



  • Du même genre ...
    vect AI = vect AB + vect BI
    De même : vect AJ = vect AD + vect DJ
    Donc vect AI . vect AJ = (vect AB + vect BI) . (vect AD + vect DJ)
    Tu distribues : tu obtiens 4 produits scalaires très faciles à calculer.



  • Ah oui d'accord, merci



  • Tu dois trouver, pour ce second calcul, et sauf erreur de ma part : x²
    Donc, tu peux dire ensuite que x² = (5x²/4) * cos a
    D'où cos a = 4/5, d'où une valeur approchée de a.



  • Merci beaucoup !!! 😄



  • On les ajoute.
    Mais les as-tu calculés ?
    vect AI . vect AJ = (vect AB + vect BI) . (vect AD + vect DJ)
    = AB.AD + AB.DJ + BI.AD + BI.DJ (il s'agit de vecteurs)
    Que vaut AB.AD ?


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