Déterminer la valeur approchée d'un angle à 0,1 degré près

bonjour je ne comprend pas cet exercice:
ABCD est un carré de coté x
I et J sont les milieux respectifs de [BC] et [CD]
On note a une mesure en degré de l'angle IAJ
en calculant de 2 facons le produit scalaire AI.AJ
Determiner une valeur approchée de a à 0,1 degré près.

Si quelqu'un peut m'aider merci

Bonjour,
Commence par effectuer la figure.

C'est bon

Tu as la réponse ?

Non j'ai fais la figure

Tu peux appliquer la définition du produit scalaire :
vect AI . vect AJ = ...

AI.AJ = Ai x AH
= Ai x AJ x cos(AI.AH)

H est le projeté de I sur (AJ) ?
Et i, c'est I ?
Joins ta figure.

Mais il n'y a pas de H ni de i.
Par définition :
vect AI . vect AJ = AIAJcos(vect AI , vect AJ)
vect AI . vect AJ = AIAJcos a.
Calcule AI et AJ.

je ne comprend pas

Qu'est-ce que tu ne comprends pas : la définition du produit scalaire, ou comment calculer les distances AI et AJ ?

comment calculer les distances

Tu as dû entendre parler du th de Pythagore ?
Bien entendu, ces distances s'exprimeront en fonction de x.

Bon alors le H c'est le projeté orthogonal sur la segment [AI] et ensuite oui il y a un I.

Reprenons...
On doit calculer le produit scalaire AI.AJ de de manière pour trouver l'angle IAJ.
Ma première idée : AI.AJ = AI x AJ
= AI x AJ x cos IAJ
= AI x AH x cos (AI,AH)
Maintenant comment trouvé le cos de AI.AH ?

Pour trouver AI.AJ ensuite c'est simple il suffit de mettre le carré dans un répère et on obtient : AI.AJ = 4x2+2x4 = 16

$fichier math$
Bon.
Il y a H et I mais pas i.
Je reprends :
vect AI . vect AJ = vect AJ . vect AH ( produits scalaires)
= distance AJ * distance AH (car les vectaurs AJ et AH sont colinéaires et de même sens)
= dist AJ * dist AI * cos a
Tu dois donc calculer les distances AI et AJ en fonction de x (th de Pythagore).

Citation
Reprenons...
On doit calculer le produit scalaire AI.AJ de de manière pour trouver l'angle IAJ.
Ma première idée : AI.AJ = AI x AJ
= AI x AJ x cos IAJ
= AI x AH x cos (AI,AH)
Maintenant comment trouvé le cos de AI.AH ?

Pour trouver AI.AJ ensuite c'est simple il suffit de mettre le carré dans un répère et on obtient : AI.AJ = 4x2+2x4 = 16Je n'avais pas vu ce message : je préparais ma réponse au précédent.

Il y a là plusieurs erreurs, notamment la confusion entre vecteurs et distances.
Le côté du carré n'est pas donné : c'est x.

D'accord, merci mais alors à quoi ça nous amène pour trouver a ?

On te demande de calculer le produit scalaire de deux manières.
C'est seulement quand tu auras terminé les deux calculs que tu pourras les comparer et en déduire cos a puis a.
Pour commencer, tu n'as pas encore terminé le premier calcul. Calcule les distances AI et AJ comme je te l'ai conseillé.
Ensuite seulement, on verra la seconde manière.

Ok chef !

Mais ne traîne pas car le chef se déconnecte souvent assez tôt...

On prend le triangle AJD pour AJ :
AJ² = AD² +DJ²
AJ² = x² + x/2 ²
AJ est une longeur, donc nombre positif...
AJ = √x² + x/2²
AJ = x+ x/2

c'est ça ?

Pour AI on prend ABI
AI² = AB² + BI²
AI² = x² + x/2 ²
AI est une longeur donc nombre positif...
AI = √x² +x/2²
AI = x + x/2 aussi ?

Non. Tu commets une erreur basique : la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.
AJ² = x² + (x/2) ² ( n'oublie pas les parenthèses).
Ce qui donne AJ² = x² + x²/4 = 5x²/4
Inutile de prendre la racine carrée car AI = AJ et dans le calcul
vect AI . vect AJ = dist AJ * dist AI * cos a , AJ*AI = AJ²
Tu obtiens donc vect AI . vect AJ = (5x²/4) * cos a

Maintenant, tu vas recommencer à calculer ce produit scalaire d'une autre façon.
Je te conseille de décomposer :
vect AI = vect AB + vect BI
Et une décomposition analogue pour AJ.

D'accord j'ai compris le début merci beaucoup. Mais pour la suite je vois où ça mène, et qu'est ce qu'une décomposition analogue ?

Du même genre ...
vect AI = vect AB + vect BI
De même : vect AJ = vect AD + vect DJ
Donc vect AI . vect AJ = (vect AB + vect BI) . (vect AD + vect DJ)
Tu distribues : tu obtiens 4 produits scalaires très faciles à calculer.

Ah oui d'accord, merci

Tu dois trouver, pour ce second calcul, et sauf erreur de ma part : x²
Donc, tu peux dire ensuite que x² = (5x²/4) * cos a
D'où cos a = 4/5, d'où une valeur approchée de a.

Merci beaucoup !!!

On les ajoute.
Mais les as-tu calculés ?
vect AI . vect AJ = (vect AB + vect BI) . (vect AD + vect DJ)
= AB.AD + AB.DJ + BI.AD + BI.DJ (il s'agit de vecteurs)
Que vaut AB.AD ?

J'ai trouvé 2x² moi, comment as- tu fais ton calcul ? stp

AB.AD = x * x * cos (90°)
= x² * 0
= 0

AB.AD = 0 : pas besoin de calcul : les deux vecteurs sont orthogonaux.
Même chose pour BI.DJ
Restent :
AB.DJ = x*(x/2) car les deux vecteurs sont colinéaires et de même sens.
(L'angle vaut 0° de cosinus égal à 1)
Même chose pour BI.AD = x*(x/2) = x²/2
La somme vaut bien x² et pas 2x².