Exercice sur les suites (Besoin d'aide, svp)

[kaola]

Bonjour,
Voilà j'ai un exercice de Maths à faire et je suis bloqué.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider, svp ?
Merci d'avance.

Voilà l'exercice:

On a la suite (un) suivante:

$u_0$= - 2 et $3u_{n+1}$ + $2u_n$ = $-\frac{5n+7}{(n+1)(n+2)}$

Et la suite $(v_n$) suivante:

$v_n$ = $u_n$ + $\frac{1}{n+1}$

Question 1:

Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$.
Calculer $v_0$ , $v_1$, $v_2$ , $v_3$ .

Question 2:
Il faut prouver que la suite $(u_n$) n'est ni arithmétique ni géométrique.

Question 3:
Il faut prouver que la suite $(v_n$) est une suite géométrique et donner les deux premiers termes et la raison.

Question 4:
Il faut exprimer vn puis un en fonction de n.

Pour la question 1, j'ai trouvé:
$u_0$=-2
$u_1$=$\frac{1}{6}$
$u_2$=-$\frac{7}{9}$
$u_3$=$\frac{5}{108}$

$v_0$=-1
$v_1$=$\frac{2}{3}$
$v_2$=-$\frac{4}{9}$
$v_3$=$\frac{8}{27}$

Pour la question 2,
Pour démonter qu'une suite n'est pas arithmétique j'ai fait: $u_1$ - $u_0$ et $u_2$ - $u_1$
Et comme j'ai trouvé deux résultats différents j'en ai conclut que la suite n'était pas arithmétique.
Pour démontrer qu'elle n'est pas géométrique j'ai fait: $\frac{u{}_1}{u{}_0}$ et $\frac{u{}_2}{u{}_1}$ et comme je ne trouve pas le même résultat j'en ai conclu que la suite n'est pas géométrique.

Chacune des justification est-elle suffisante ou faut-il plus développer?

Quant aux questions 3 et 4 je n'y arrive pas.
J'ai tout de même essayer de faire $\frac{v{}_{n+1}}{v{}_n}$ pour la question 3 mais je me retrouve bloqué.

Si quelqu'un veut bien m'aider et éventuellement m'indiquer si mes réponses sont correctes, je lui en serait très reconnaissant.
Merci de votre aide.

[EMaths]

Salut,

1/ je n'ai pas vérifié les calculs, ils restent triviaux

2/ oui, cela suffit.

3/ Si tu as réussi à faire la 2/, tu devrais t'en sortir ici.
Comment as-tu prouver que $(U_n$) n'est pas géométrique ? Ne peux-tu pas utiliser le même raisonnement pour $(V_n$) (attention cependant, il faut alors prouver une relation entre $V_{n+1}$ et $V_n$ quelque soit n, pas seulement pour 2 termes)

4/ Réussir le 3/ débloquera automatiquement le 4/ car en prouvant que $(V_n$) est géométrique, tu peux du coup écrire directement $V_n$ en fonction de n et $V_0$ (et non plus de $V_{n-1}$)

[kaola]

Que veux-tu par triviaux?
Justement pour la 3, je n'arrive pas à le prouver pour tout n $\in$ IN
J'y arrive mais seulment pour des valeurs particulières et en utilisant les formules du dessus. Donc cela n'est pas une justification valable tout le temps.

Quand j'essaye de faire $\frac{v{_{n+1}}}{v{_n}$ je me retrouve bloqué. J'ai essayé de trouver la solution en multipliant par l'inverse mais ce la ne donne rien.

[kaola]

Est ce que si lorsqu'on fait $\frac{v{}_{n+1}}{v{}_n}$ c'est égal à ce que j'ai écris ci-dessous?

$\frac{v{}_{n+1}}{v<em>n}$=$\frac{u</em>n+1+\frac{1}{n+1+1}}{u{}_n+\frac{1}{n+1}}$

Si oui, alors comment continuer?
Car je me retrouve bloqué à cet endroit.
Si non, qu'est ce qui ne va pas dans mon expression?

[EMaths]

Après avoir regardé de plus pret (j'avais peu de temps avant), il y a une erreur dans ton énoncé.

A mon avis il manque un - dans la relation entre $U_{n+1}$ et $U_n$ (devant la fraction, côté droit)

Ce qui donnerait : $3u_{n+1}+2u_n$ =
-$\frac{5n+7}{(n+1)(n+2)}$

Cela permet de retrouver les résultats que tu donnes au 1/ (sinon, avec ta formule d'origine, ça sonne faux).

Du coup en faisant $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ ça devrait aller mieux maintenant

Edit: du coup ce que tu marques juste au-dessus est juste, il te suffit de remplacer $U_{n+1}$ par une expression en fonction de $U_n$ et n (tiré de l'expression que j'ai corrigé)

[kaola]

En effet, j'ai fais une erreur en recopiant: j'ai bien oublié le - devant la fraction.
(J'ai corrigé dans l'énoncé d'origine).
Tu as tout à fait raison. Merci.
J'en conclus que mes résultats pour la question 1 sont corrects ...

Je dois donc isoler $U_n$ et aussi $U_{n+1}$? de la formule que tu as corrigée?
Cela donnerait:
$U_n$= $\frac{-\frac{5n+7}{(n+1)(n+2)}-3u{}_{n+1}}{2}$

Et pour $u_{n+1}$:

$u_{n+1}$=$\frac{-\frac{5n+7}{(n+1)(n+2)}-2u{}_n}{3}$

C'est ça?

Mais après comment remplacer dans l'expression de $\frac{v{}_{n+1}}{v{}_n}$ ????

[kaola]

Je pense que cela doit donner:

$\frac{v{}_{n+1}}{v<em>n}$=$\frac{\frac{-\frac{5n+7}{(n+1)(n+2)}-2u</em>n}{3}+\frac{1}{n+2}}{u{}_n+\frac{1}{n+1}}$

Mais après comment faire pour calculer cela?
Je suis bloqué.