Déterminer dérivée d'une fonction avec racine et valeur absolue

[blopishere]

Bonjour!
J'ai un devoir maison sur les dérivées, et j'ai un peu de mal...
Comment peut on dériver 3x/(1+ $sqrt$|2x|) ?
C'est ce que je pense être la seule chose qui me manque pour réaliser l'exercice.
Merci!

[Zorro]

Bonsoir,

Il faut que tu décomposes la fonction de la façon suivante

si x>=0 alors |2x| = 2x donc f(x) = ........ pour x appartenant à ]-inf/;+0]

si x<0 alors |2x| = -2x donc f(x) = ...... pour x appartenant à ]+0;+inf/[

Donc tu vas calculer 2 expressions de f

l'une sur ]-inf/;+0] l'autre sur ]+0;+inf/[ avec les 2 expressions de f(x) trouvées.

Reviens nous donner ce que tu trouves pour f(x) et f'(x). A+

[blopishere]

J'ai du rater un truc pendant mes cours de maths...
|2x|, qu'il soit positif ou négatif, ce n'est pas toujours égal à 2x?

Merci de m'avoir répondu, je vais essayer de réfléchir, pour une fois!

[Zorro]

tu as raté plus d'un truc pendant tes cours de maths...

blopishere
|2x|, qu'il soit positif ou négatif, ce n'est pas toujours égal à 2x?

Tu fais une erreur sur le signe de x et celui de |x|

|x| donne toujours un résultat positif en effet |-4 | = 4 et |7| = 7 ce qui se traduit par

si x>0 alors |x| = x

et si x<0 alors |x| = -x

[blopishere]

OOoh oui, c'est vrai! En plus, on l'a vu jeudi dernier! [la honte!]
Et dire que je veux faire les Olympiades! Enfin, bref, je m'égard..^^

Merci beaucoup!!! Je pense que je pourrais réussir l'exercice maintenant!

[blopishere]

Rebonjour!
Alors, si j'ai bien compris, pour ma fonction
si x >= 0, alors f(x)=3x/(1+ $sqrt$2x))
et si x <= 0, alors f(x)=(-3x)/(1+ $sqrt$2x))
et la fonction est définie sur R.
Donc après, il est simple de trouver la dérivée avec les théorèmes qu'on voit en cours?
J'espère que je ne me suis pas trompée!
Merci beaucoup!

[Zauctore]

non : si x est négatif, tu dois écrire
f(x) = 3x / (1 + $sqrt$(-2x))
de telle sorte que la racine carrée existe ici.

[blopishere]

Je ne suis pas sûre d'avoir compris....
Car, à ce moment là, je n'arrive pas à voir les 2 cas! J'ai vraiment un problème!!!

[Zauctore]

l'autre cas (x positif) est bon, dans ton post de 17:44.

[blopishere]

Oui, mais pour le x négatif, la racine est impossible non? Ou bien faut-il fractionner la fonction?
Je comprends pour le cas très simple def(x)=|x|
Quand x>=0, f(x)=x et donc f'(x)=1
Quand x<=0, f(x)=-x et donc f'(x)=-1
Mais là, la fonction est un peu plus compliquée, et je ne vois pas trop comment on peut résoudre $sqrt$-2x)...

[blopishere]

Bonjour!
S'il vous plait, ça devient urgent que vous m'aidiez, si c'est possible!
Je ne comprends toujours pas comment résoudre la fonction f(x)=(3x)/(1+ $sqrt$|2x|) quand x est négatif!!!!
Sinon, j'ai continué, pour x positif :
On pose u(x)=3x, donc u'(x)=3
et v(x)=1+ $sqrt$2x, donc v'(x)= ($sqrt$2x)/2x
et je trouve f'(x)=(3 $sqrt$2( $sqrt$2+ $sqrt$x))/2(1+ $$sqrt$2x)^2$
Mais je voulais savoir si f'(x) est définie sur $R^{+<em>}$ comme quotient de fonctions dérivables sur $R^{+</em>}$ (v(x)), ou sur $R^{+}$ , car mon résultat donne une fonction définie sur $R^{+}$ ?

J'espère que vous m'avez comprise et que vous pourriez m'éclairer au plus vite!!!
Merci beaucoup!!!

[madvin]

Salut,

je reprends tout depuis le début pour que tu comprennes bien.

Calculer la dérivée de f(x) = 3x / (1+$sqrt$|2x|).

Il faut d'abord trouver l'ensemble de définition :

Ensemble de définition de f :

f(x) existe equiv/ 3x / (1+$sqrt$|2x|) existe
equiv/ |2x| >= 0 et 1+$sqrt$|2x| diff/ 0
Or qqsoit/xapp/R, |2x| >= 0 et |2x| >= 0 impl/ $sqrt$|2x| >= 0 impl/ 1+$sqrt$|2x| >= 1 impl/ 1+$sqrt$|2x| diff/ 0

Donc f est définie sur R

Ensemble de dérivabilité de f :

la fonction valeur absolue est dérivable sur R* et 2x est dérivable sur R
donc |2x| est dérivable sur R*
de plus, la fonction racine carrée est dérivable sur R*
donc $sqrt$|2x| est dérivable sur R*
et 1+$sqrt$|2x| est dérivable sur R*
et 1/(1+$sqrt$|2x|) est dérivable sur R*
de plus 3x est dérivable sur R
donc 3x/(1+$sqrt$|2x|) est dérivable sur R*
donc f est dérivable sur R*

Calcul de la fonction dérivée f' de f :

si x>0 :
f'(x) = (3x / (1+$sqrt$(2x)))' = [ (3x)'(1+$sqrt$(2x)) - (3x)(1+$sqrt$(2x))' ] / (1+$sqrt$(2x))²
= [ 3*(1+$sqrt$(2x)) - 3x*(2*(1/ 2$sqrt$(2x))) ] / (1+$sqrt$(2x))²
= [ 3*(1+$sqrt$(2x)) - 3x*(1/$sqrt$(2x)) ] / (1+$sqrt$(2x))²
= [ 3*(1+$sqrt$(2x)) - 3x*(1/$sqrt$(2x)) ] / (1+$sqrt$(2x))²
= ...
Petite info : ici, $sqrt$(2x) = $sqrt$2 * $sqrt$x car x>0

si x<0 :
f'(x) = (3x / (1+$sqrt$(-2x)))' = [ (3x)'(1+$sqrt$(-2x)) - (3x)(1+$sqrt$(-2x))' ] / (1+$sqrt$(-2x))²
= [ 3*(1+$sqrt$(-2x)) - 3x*(-2*(1/ 2$sqrt$(-2x))) ] / (1+$sqrt$(-2x))²
= [ 3*(1+$sqrt$(-2x)) + 3x*(1/$sqrt$(-2x)) ] / (1+$sqrt$(-2x))²
= ...
Petite info : ici, $sqrt$(-2x) = $sqrt$2 * $sqrt$(-x) car x<0

@+