Loi binomiale



  • Bonsoir/Bonjour à tous ! J'aurais besoin d'une petite correction, je ne suis pas sûr à 100% de tout mes calculs, j'espère que ça sera assez lisible et clair pour vous.

    Voici l'énoncé - Pour un avion à plusieurs réacteurs, on suppose que le risque de panne d'un des réacteurs est indépendant de l'état des autres réacteurs.
    Soit p la probabilité de panne d'un des réacteurs
    On suppose que l'avion peut continuer à voler si au moins la moitié de ses réacteurs ne sont pas en panne.

    I. On appelle X le nombre de réacteurs en panne sur un biréacteur ( qui possède donc 2 réacteurs )

    A. Quelles sont les valeurs possibles de X ?
    → L'ensemble des valeurs prises par X est {0 ; 1 ; 2}

    B. Quelle est la loi de probabilité de X ?
    → On utilise la loi de Bernoulli :

    p(x=k)=( n   k)pk(1p)nkp(x=k) = \begin{pmatrix} \ n\ \ \ k\end{pmatrix}p^{k}(1-p)^{n-k}

    On fait ça pour 0 ; 1 et 2

    p(x=0)=( 2   0)p0(1p)20=(1p)2=12p+p2p(x=0) = \begin{pmatrix} \ 2\ \ \ 0\end{pmatrix}p^{0}(1-p)^{2-0} =(1-p)^{2}=1-2p+p^{2}

    p(x=1)=( 2   1)p1(1p)21=2p(1p)=2p2p2p(x=1) = \begin{pmatrix} \ 2\ \ \ 1\end{pmatrix}p^{1}(1-p)^{2-1}=2p(1-p)=2p-2p^{2}

    p(x=2)=( 2   2)p2(1p)22=p2p(x=2) = \begin{pmatrix} \ 2\ \ \ 2\end{pmatrix}p^{2}(1-p)^{2-2}=p^{2}

    On a donc la loi de probabilité :

    x=kx=k | 00 | 11 | 22 |
    p(x=k)p(x=k) | 12p+p21-2p+p^{2} | 2p2p22p-2p^{2} | p2p^{2} |

    C. Déterminer p(x1)p(x\leq 1) en fonction de p.
    → J'ai donc additionné :

    p(x1)=p(x=0)+p(x=1)=12p+p2+2p2p2=p2+1p(x\leq 1)=p(x=0)+p(x=1)=1-2p+p^{2}+2p-2p^{2}=-p^{2}+1

    J'aimerais savoir si je suis sur la bonne lancée avant de continuer. Merci d'avance pour vos réponses. Et je dois surement avoir fait quelques fautes de frappe sur mon texte, veuillez m'en excuser.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je ne vois pas d'erreur dans tes calculs.

    Une remarque pour le B) : X a une loi Binomiale



  • Merci, de ta réponse. Je vous poste la suite, la même démarche, avec un quadriréacteur ( soit, 4 réacteurs ) :

    II. On appelle Y le nombre de réacteurs en panne sur un quadriréacteur.

    A. Quelles sont les valeurs possibles de Y ?
    → L'ensemble des valeurs prises par Y est {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

    B. Quelle est la loi de probabilité de Y ?
    → Cette fois, on ré-utilise la fameuse loi Binomiale :

    p(y=0)=( 4   0)p0(1p)40=(1p)4p(y=0)=\begin{pmatrix} \ 4\ \ \ 0\end{pmatrix}p^{0}(1-p)^{4-0}=(1-p)^{4}

    p(y=1)=( 4   1)p1(1p)41=4p(1p)3=2p23p+1p(y=1)=\begin{pmatrix} \ 4\ \ \ 1\end{pmatrix}p^{1}(1-p)^{4-1}=4p(1-p)^{3}=2p^{2}-3p+1

    p(y=2)=( 4   2)p2(1p)42=6p2(1p)2=6p412p3+6p2p(y=2)=\begin{pmatrix} \ 4\ \ \ 2\end{pmatrix}p^{2}(1-p)^{4-2}=6p^{2}(1-p)^{2}=6p^{4}-12p^{3}+6p^{2}

    p(y=3)=( 4   3)p3(1p)43=4p3(1p)=4p34p4p(y=3)=\begin{pmatrix} \ 4\ \ \ 3\end{pmatrix}p^{3}(1-p)^{4-3}=4p^{3}(1-p)=4p^{3}-4p^{4}

    p(y=4)=( 4   4)p4(1p)44=p4p(y=4)=\begin{pmatrix} \ 4\ \ \ 4\end{pmatrix}p^{4}(1-p)^{4-4}=p^{4}

    Le tableau est le même, X=k et P(X=k).. avec les probas, pour chaque nombre.

    C. Déterminer p(y2)p(y\leq 2) en fonction de p.
    → De même encore, on additionne :

    p(y2)=p(y=0)+p(y=1)+p(y=2)=(1p)4+2p23p+1+6p412p3+6p2  =7p416p3+14p27p+2p(y\leq 2)=p(y=0)+p(y=1)+p(y=2)=(1-p)^{4}+2p^{2}-3p+1+6p^{4}-12p^{3}+6p^{2} \ \ =7p^{4}-16p^{3}+14p^{2}-7p+2

    Voilà pour les petites questions.

    La dernière question m'intrigue, je ne sais pas trop comment m'y prendre.
    La voici :

    III. Comparer la sécurité offerte par un biréacteur à celle offerte par un quadriréacteur suivant les valeurs de p.

    Si j'ai bien compris il faut que je compare les probas de p entre les 2 avions ? Je ne vois pas trop la différence, vu que p n'a pas réellement de nombre. Faut-il peut-être en établir un et tout re-calculer ?

    Merci d'avance pour vos réponses.


  • Modérateurs

    Pour le II , ta démarche est juste ( mais je n'ai pas vérifié les développements )

    Une idée pour le III

    La probabilité pour que le biréacteur vole est p(x1)p(x\le 1)

    La probabilité pour que le quadriréacteur vole est p(y2)p(y\le 2)

    Tu peux poserf(p)=p(x1)p(y2)f(p)=p(x\le 1)-p(y\le 2)

    Tu étudies les variations de f sur [0,1] ( vu que 0 ≤ p ≤ 1 )

    Tu en déduis le signe de f(p) suivant p et tu tires les conclusions.



  • Bon, j'essaye cette méthode que vous m'avez conseillé.

    J'ai donc :

    f(p)=p(x1)+p(y2)=p2+1(7p416p3+1427p+2) =7p4+16p3152+7p1f(p)=p(x\leq 1)+p(y\leq 2)=-p^{2}+1-(7p^{4}-16p^{3}+14^{2}-7p+2) \ =-7p^{4}+16p^{3}-15^{2}+7p-1

    Je calcul sa dérivée :

    f(p)=4p3+3p2+2p+1f'(p)=4p^{3}+3p^{2}+2p+1

    Et je continu le tableau de signe si j'ai bien compris ? Ainsi j'aurais le signe de f(p) il me semble.


  • Modérateurs

    Je regarde tes calculs de P(Y≤2) dont je n'avais pas vérifié les développements hier .

    Tu as dû faire quelques erreurs ...! mais FACTORISER est beaucoup plus simple !

    Factorise au lieu de développer et tu trouveras ainsi f(p) très simple dont tu pourras trouver le signe sans passer par l'étude de la fonction.

    Je t'indique les principaux résultats :

    p(x1)=(1p)(1+p)p(x\le 1)=(1-p)(1+p)

    p(y2)=(1p)2(3p2+2p+1)p(y\le 2) =(1-p)^2(3p^2+2p+1)

    Sauf erreur , pour f(p) tu dois touver :

    f(p)=(1p)(3p3p2)=(1p)p2(3p1)f(p)=(1-p)(3p^3-p^2)=(1-p)p^2(3p-1)

    Pour p ∈[0,1] le signe de f(p) est très facile à trouver ainsi que les conclusions.

    Bonnes factorisations !



  • En effet, c'est beaucoup plus simple..

    On trouve que, [0;1/3] U [1;+Inf] la courbe est en dessous de l'axe des abscisses. ( On pourrait presque dire [-Inf;1/3] U [1;+Inf] )

    Et [1/3;1], la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

    Mais, je suis embêtant, je sais, je ne vois pas en quoi cela va m'aider à tirer des conclusions.

    Si je réfléchi bien, je dois surement m’intéresser lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
    J'ai encore un peu de mal avec les interprétations en fin d'exercices..


  • Modérateurs

    Tu n'as pas besoin de la courbe.

    Utilise la factorisation

    Pour p ∈ [0, 1] :

    1p01-p\ge 0
    p20p^2 \ge 0

    f(p) est du signe de 3p-1 donc .......

    Tu déduis :

    f(p) > 0 <=> p> .........
    f(p) = 0 <=> p = .........
    f(p) < 0 <=> p < .........

    Interprtation :

    f(p)> 0 : P(X≤1) > P(Y≤2)
    La probabilité pour que le biréacteur vole est supérieure à la probabilité pour que le quadriréacteur vole donc .............

    f(p)= 0 : P(X≤1) = P(Y≤2)
    ..............

    f(p)< 0 : P(X≤1) < P(Y≤2)
    ..............



  • Bonjour,
    j'ai le même exercice à rendre pour demain, et on est plusieurs à se casser la tête dessus depuis plusieurs jours...



  • Merci pour toutes les explications qui m'ont permis d'éviter de longs calculs interminables, et tout pleins de chiffres affreux !


  • Modérateurs

    Bonsoir Marilou2d ,

    J'espère que les explications données ont pu t'aider mais comme tu ne poses pas de questions , je ne peux pas t'en dire plus .

    Bon DM.


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