Résoudre un problème sur le produit scalaire

ABC est un triangle isocèle de base [BC]. On pose AB=α et BÂC=ϴ.

1°Faire une figure et exprimer en fonction de π et de ϴ l’angle ABC.

2°En calculant de deux manières AB.AC, démontrer que : BC²=2α²(1-cosϴ).

3° On note H la projection orthogonale de A sur (BC) ; démontrer que :

a)BH=αsinϴ/2).

b)En déduire une relation entre cos ϴ et sin(ϴ/2).

4)Onconsidèreque :ϴ=π/4.

a)En déduire une valeur de sin(π/8).

b)En déduire cos (π/8) et démontrer que tan (π/8)=√2-1

Bonjour,
Que sais-tu des angles d'un triangle isocèle ?
De la somme des trois angles d'un triangle ?
Tu devrais au moins savoir répondre à la question 1.

Oui la question 1 j'ai réussi et j'ai trouvé que l'angle ABC=π-3/2ϴ mais pour les autres j'arrive pas.

Ta réponse est fausse.
Détaille (et justifie) les calculs.

On sais que la somme des angles d'un triangle est de 180° soit π.
De plus dans un triangle isocéle 2 angles sont égaux, c'est pourquoi l'angle ABC=π-ϴ-0.5ϴ

Non :
ABC + ACB + θ = π
Mais ABC = ACB
Donc 2.ABC + θ = π
Donc ABC = (π -θ)/2 = π/2 - θ/2

Ah oui exact merci beaucoup d'avoir corrigé cette première erreur vous êtes gentil
Pour la question 2 j'ai tenté quelque chose mais sa ne marche pas

Qu'as-tu tenté ?

D'une part AB.AC=ABACcos ϴ = aacos ϴ = a²cos ϴ
D'autre part AB.AC=1/2(AB²+AC²-BC²)=1/2(a²+a²-BC²)=0.5a²+0.5a²-0.5BC²=2a²-BC²
Donc a²cosϴ=2a²-BC²
Donc BC²=2a²-a²cosϴ
Mais ken on développe 2α²(1-cosϴ) on obtient 2a²-2a²cosϴ.
Donc c'est faux mais je voi pas mon erreur

Citation
0.5a²+0.5a²-0.5BC²=2a²-BC²Les erreurs sont là :
tu dois obtenir a² - 0.5BC²
Donc a² cos Θ = a² - 05 BC²
0.5 BC² = a²(1-cos Θ)
BC² = 2a²(1-cos Θ)

Ah oui merci j'était pas loin mais une erreur a la fin, ensuite pou la question 3 j'ai pas d'idée pour comment faire pouvez-vous m'aider silvouplaît ?

3)a) : quelle est la nature du triangle ABH ?

Il est rectangle ?

Bien sûr.
Dans ce triangle rectangle, comment s'exprime le cosinus de l'angle ABC ?

Le cosinus de l'angle ABC dans ce triangle s'exprime : cos Θ/2 ?

Non.
Pour commencer, l'angle ABC mesure π/2 - θ/2.
Ensuite, tu ne sembles pas comprendre ma question : dans un triangle rectangle, on applique la définition du cosinus d'un angle aigu :
côté ... / ...

C'est : cos (coté adjacent) / l'hypoténuse ?

Essaie de mieux rédiger.
Ici, cos (ABC) = BH/AB
Continue.

Donc sa nous donne : cos (π/2 - θ/2)=BH/a car AB=a ?

Oui, d'où BH = ?

D'ou BH=a*cos (π/2 - θ/2) ?

Oui, mais θ/2 et (π/2 - θ/2) sont deux angles complémentaires.
Donc cos (π/2 - θ/2) = ...

Donc cos (π/2 - θ/2) = sin (θ/2) ?

Exact : BH = a*sin (θ/2)
3)b) que peux-tu dire du point H ?

Peut tu juste m'expliquer pourquoi cos (π/2 - θ/2) = sin (θ/2) j'ai pas trop compris ?
3)b) H c'est le milieu de BC

C'est tout à fait classique.
Tu peux vérifier sur une calculette : cos 30° = sin 60°
On peut l'établir de la façon suivante :
De même que tu as rappelé la définition du cosinus dans le triangle ABH, donne celle du sinus mais cette fois de l'angle BAH.

Sa donne sin(θ/2)=BH/AB donc sin(θ/2)=BH/a soit BH=a*sin(θ/2) ah oui merci beaucoup je comprend mieu
Donc pour la 3)b) on en déduit que cosθ=sin (θ/2) ?

Non : cela est faux.
Tu as dit plus haut que H est le milieu de [BC], donc BH = BC/2
Et auparavant, tu as calculé BC²
Il suffit donc d'écrire a sin (θ/2) BC/2 = ... attention en prenant la racine carrée.

BC/2=asin(θ/2)
√(2a²(1-cos θ))/2=asin(θ/2)
On obtient donc sa ?

Oui, mais simplifie au mieux.

Est-ce que au final on trouve : sin(θ/2)=-a²*cos θ ? sinon pouvez vous me dopnner ce que vous trouvé ?

√(2a²(1-cos θ))/2=asin(θ/2)
(√2)a√(1-cosΘ) = 2a*sin(θ/2)
(√2)√(1-cosΘ) = 2sin(θ/2)
sin(θ/2) = ((√2)/2)√(1-cosΘ)
Ou en élevant au carré : (1-cosΘ) = 2sin² (θ/2) (formule classique).

Merci beaucoup
Comment doit-je faire alors pour les question 4)a) et 4)b) ?

Lorsque Θ = π/4, que vaut cos π/4 ?

√2/2 ?

Oui.
En utilisant le résultat précédent, tu peux donc calculer sin² π/8

Je trouve : sin² π/8 = (2-√2)/4 est-ce ça ?

Oui.
Pour le sinus lui-même, il faut prendre la racine carrée.

Donc sin π/8 = √((2-√2)/4) ?
Et pour la 4)b) comment fait-on ?

Tu connais sin² π/8
Tu peux donc calculer cos² π/8 car sin² ....... = .....