Montrer des égalités en utilisant le produit scalaire

Bonjour à tous !
Je souhaiterai un petit coup de pouce dans mon raisonnement.
L'exercice est le suivant:

Soit A,B,C trois points non alignés du plans tels que AB=c, AC=b, BC=a
On appelle I et J les milieux respectifs de [AB] et [AC]
Montrer que (CI)⊥(BJ) ⇔ b²+c²=5a²
Aides:

utiliser les relations 2→CI=→CA+→CB et 2→BJ= →BA + →BC
utiliser al-kashi

Je ne vois pas vraiment comment utiliser les aides données dans l'énoncé.
Je ne comprends pas comment les relations 2→CI=→CA+→CB et 2→BJ= →BA + →BC peuvent m'aider à utiliser le théorème d'Al-Kashi...

Je me retrouve avec →CI = (b+a)/2 et →BJ=(c+a)/2 ? Est ce normal ? et que faire ensuite ?
Merci d'avance !

Bonjour ,

Ta dernière remarque : "je me retrouve avec ..." est fausse car tu confonds les vecteurs et leurs normes.

Piste pour démarrer ,

$ci⃗.bj⃗=12(ca⃗+cb⃗).12(ba⃗+bc⃗)\vec{ci}.\vec{bj}=\frac{1}{2}(\vec{ca}+\vec{cb}).\frac{1}{2}(\vec{ba}+\vec{bc})$

Tu développes.

Tu remplaces chaque produit scalaire par son expression de la forme $abcosc^abcos\widehat{c}$

Et ensuite tu termines avec la formule de Al-Kashi .

Tout d'abord merci
J'ai suivi vos conseil et j'obtiens :
( les vecteurs sont en gras )

CI.BJ= (1/2 b * 1/2a*cosC) . (1/2 c * 1/2a * cos B)

Cela est t-il normal ?
En revanche, je peine à comprendre comment je peux terminer avec Al-Kashi

Non...Tu confonds somme avec produit...

Je t'ai dit : "tu développes"

$ci⃗.bj⃗=14(ca⃗.ba⃗+ca⃗.bc⃗+cb⃗.ba⃗+cb⃗.cb⃗)\vec{ci}.\vec{bj}=\frac{1}{4}(\vec{ca}.\vec{ba}+\vec{ca}.\vec{bc}+\vec{cb}.\vec{ba}+\vec{cb}.\vec{cb})$

Ah oui, je vois mon erreur
J'ai donc réessayé et j'obtiens:
→CI.→BJ = 1/4 (bc cosA + ba cosC + ac cosB + a²cos B)

C'est bon cette fois-ci, ou toujours pas ?

En revanche, je ne comprends pas comment utiliser Al Kashi.
Je dois par exemple remplacer la valeur bc cos A par (a²-b²-c²)/ 2 ?

Tu as de nombreuses erreurs de signe dues au sens des vecteurs : tu évalues mal les angles.
Pour "voir" l'angle , il est commode que les représentants des deux vecteurs aient la même origine.

Un exemple :

$+ca⃗.bc⃗=−ca⃗.cb⃗=−bacos⁡c^+\vec{ca}.\vec{bc}=-\vec{ca}.\vec{cb}=-ba\cos\widehat{c}$

Revoie ta dernière réponse.

Attends pour Al-Kashi car tant que tu n'auras pas la formule correcte , Al-Khasi ne te servira pas...

D'accord, donc si les représentants des vecteurs ont la même origine cela donne:
(les vecteurs sont en gras)

CI.BJ= 1/4 (AC.AB - CA.CB - BC.BA- BC.BC)

Cela est exact ? ou j'ai encore commis des erreurs? :frowning2:

Bravo ! c'est bon .

maintenant tu explicites chaque produit scalaire avec la formule qui fait intervenir les cosinus ( et ensuite , tu passeras à Al-Kashi )

Cela donne donc:

CI.BJ = 1/4 (cb cos A - ab cos C - ac cos B - c cos C )

C'est bon également ?

Tout est bon sauf le dernier (c cos C ) . je ne sais pas comment tu as pu trouver ça.

$bc⃗.bc⃗=bc⃗2=bc2=a2\vec{bc}.\vec{bc}=\vec{bc}^2=bc^2=a^2$

Tu auras pu dire aussi :

$bc⃗.bc⃗=bc×bc×cos0=a×a×1=a2\vec{bc}.\vec{bc}=bc \times bc \times cos0=a\times a\times 1=a^2$

Lorsque tu auras rectifié , tu utilises ( enfin ! ) Al-Kashi ( trois fois )

Par exemple :
$a2=b2+c2−2bccos⁡a^a^2=b^2+c^2-2bc \cos\widehat{a}$

Donc : $bccos⁡a^=b2+c2−a22bc\cos\widehat{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

Tu fais pareil avec b²=..........et c²=.............., puis tu remplaces dans la formule trouvée.

Ensuite , tu tires la conclusion souhaitée : vecteurs orthogonaux <=> produit scalaire nul <=> ...<=> b²+c²=5a²

Ah oui je vois

Alors j'ai corrigé et rectifié, j'ai donc trouvé

CI.BJ = 1/ 4 (bc cos A - ab cos C - ca cos B - a²)

Pour b² j'ai trouvé :
ac cos B = (a²+c² - b²) / 2

pour c² j'ai trouvé:
ab cos C = (b²+a² -c²) /2

C'est juste ?

Oui !

Super
En revanche, je pense avoir une erreur par la suite car je ne tombe pas sur le bon résultat :

CI.BJ = 1/4 ((b²+c²-a²/2) - (b²+a²-c²)/2) - (a²+c²-b²)/2 -a²)

CI.BJ= 1/4 (2b² + 2c² - 2a² - 2b² - 2a² + 2c² - 2a² - 2c² + 2b² -a²)

CI.BJ = 1/4 (-7a² + 2c² + 2b²)

1/4 (-7a² + 2c² + 2b² ) = 0
3,5 a² = c² + b²

Je ne trouve pas 5a² , et je ne comprends pas pourquoi,j'ai pourtant fait le calcul plusieurs fois :frowning2:

La première ligne est juste.

La seconde est inexacte . Entre les parenthèses , il faut réduire le tout au même dénominateur 2 , et je me demande bien ce que tu as fait...

Tu dois trouver :

$ci⃗.bj⃗=18(−5a2+b2+c2)\vec{ci}.\vec{bj}=\frac{1}{8}(-5a^2+b^2+c^2)$

Effectivement, en me relisant je n'ai pas non plus compris ce que j'avais fait !
En tout cas, je viens de parvenir au bon résultat grâce à votre aide alors merci beaucoup pour votre aide et votre patience mtschoon !

C'était avec plaisir !