Exercice sur le produit scalaire

Bonjour tout le monde!

Je cherche un exercice sur le produit scalaire, mais je suis restée bloquée à la dexième question, si quelqu'un pouvait m'aider!

L'énoncé est celui-ci:

ABC est un triangle tel que AB=7, BC=4 et AC=5.
On appelle I le milieu de [BC].

montrer que AI= √33.

J'ai dit que; Dans le triangle ABC, [AI] est la médiane issue de A.
Grâce au théorème de la médiane, en en déduit que

$AB^2$ + $AC^2$ = $2 A I$ ^2 $CB^2$ ÷2
$7$ ^2 $5^2$ = $2 A I$ ^2 $4^2$ ÷2
$2AI^2$ = 49+25-8
$AI^2$ = 66÷2
AI= √33

pour quelle valeur de m le vecteur→ u=m→MA+→MB+→MC est il indépendant du point M?
Exprimer alors →u en fonction de →AI.

Et c'est là que je suis bloquée! Je sais qu'il faut utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs, mais je ne sais pas du tout ce qu'est m.

La question suivant est;
3) On considère ∂ l'ensemble de points M tels que $- 2 M A$ ^2 $+ M B$ ^2 $MC^2$ =-58
a) Montrer l'équivalence suivante: M∈∂ ⇔ →MI.→AI=0
b) En déduire la nature de l'ensemble ∂
c) Construire ∂

Et à cette question je ne suis pas arrivée à montrer la première équivalence...

Bonjour,

Je te débloque la question 2.

Regarde ton cours .

Tu dois savoir que si m+1+1≠0 , il existe G barycentre de {(A,m),(B,1)(C,1)}et $u⃗=mma⃗+b⃗+mc⃗=(m+1+1)mg⃗=(m+2)mg⃗\vec{u}=m\vec{ma}+\vec{b}+\vec{mc}=(m+1+1)\vec{mg}=(m+2)\vec{mg}$

Pour m+1+1=0 c'est à dire m+2=0 c'est à dire m=-2 , $u⃗\vec{u}$ est indépendant de m

$u⃗=−2ma⃗+mb⃗+mc⃗=−2ma⃗+2mi⃗=...............\vec{u}=-2\vec{ma}+\vec{mb}+\vec{mc}=-2\vec{ma}+2\vec{mi}=...............$

( Tu transformes avec la relation de Chasles )

Heu... Je ne comprends pas votre " si m+1+1≠0 , il existe G barycentre de {(A,m),(B,1)(C,1)}"
On n'a jamais vu ça en cours :frowning2:

Est ce que m correspond à un point ? Vous avez utilisé un repère ?

regarde ton cours sur les barycentres , sinon regarde ici :

http://www.e-bahut.com/cours/mathematiques/barycentre-1.html

Visiblement m est un réel .

J'ai compris la notion de barycentre
En revanche, est ce qu'avec la relation de Chasles, on a bien -4→AI ? :rolling_eyes:

non...

Hmhm, heu...
→MA+→MI=→AI
-2+2= 0
Donc -2→MA+2MI= →AI ?

dur dur...

$−2ma⃗+2mi⃗=2(−ma⃗+mi⃗)=2(am⃗+mi⃗)=....-2\vec{ma}+2\vec{mi}=2(-\vec{ma}+\vec{mi})=2(\vec{am}+\vec{mi})=....$

REMARQUE :

Si tu ne sais rien sur les barycentres , tu peux faire autrement en utilisant directement la relation de Chasles

$u⃗=mma⃗+mb⃗+mc⃗=mma⃗+ma⃗+ab⃗+ma⃗+ac⃗=(m+1+1)ma⃗+ab⃗+ac⃗\vec{u}=m\vec{ma}+\vec{mb}+\vec{mc}=m\vec{ma}+\vec{ma}+\vec{ab}+\vec{ma}+\vec{ac}=(m+1+1)\vec{ma}+\vec{ab}+\vec{ac}$

Tu retrouves bien sûr $u⃗\vec{u}$ indépendant de m si et seulement si m+1+1=0 , c'est à direm=-2

Dans ce cas , $u⃗=ab⃗+ac⃗\vec{u}=\vec{ab}+\vec{ac}$

Tu transformes alors avec , à nouveau , la relation de Chasles pour avoir $u⃗\vec{u}$ en fonction de $ai⃗\vec{ai}$

A toi de voir en fonction de ton cours.

Merci beaucoup! J'ai vraiment tout compris maintenant, je rédige tout ça et je vous posterais ce que j'ai trouvé demain.

Encore merci!

Pour la question 3) a, j'ai également quelques difficultés
J'ai essayé de développer →MI.→AI
et j'en arrive à
-4→MI.→IA-2→ $IA^2$ +2→MI.→IB+2→MI.→IC

Je voulais savoir si j'étais sur la bonne voie?

Pour la 3) , je te conseille de partir de -2MA²+MB²+MC²=-58 et de faire intervenir le point I

$−2ma2+mb2+mc2=−58⟷−2ma⃗2+mb⃗2+mc⃗2=−58-2ma^2+mb^2+mc^2=-58 \longleftrightarrow -2\vec{ma}^2+\vec{mb}^2+\vec{mc}^2=-58$

avec la relation de Chasles :

$−2ma⃗2+(mi⃗+ib⃗)2+(mi⃗+ic⃗)2=−58-2\vec{ma}^2+(\vec{mi}+\vec{ib})^2+(\vec{mi}+\vec{ic})^2=-58$

Tu développes les carrés avec les identités remarquables .

Après simplifications , si tu ne fais par d'erreur , tu dois obtenir l'équivalence avec $mi⃗.ia⃗=0\vec{mi}.\vec{ia}=0$