Suites numeriques (démontrer et convergence)

Bon soit le temps qu'il fait à tous

he bien lorsqu'il s'agit de montrer que la suite $u_{n}$ > -1

avec $u_{n}$ définie sur $mathbb{N}$ par: $u_{o}$ = 1 et

$un+1=un−1un+3u_{n+1}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3}$

là pas de problème car: $u_{o}=1$ > -1 (initialisation)

on suppose pour un nombre entier K $u_{k}$ > -1

on a $u{k}+1$ = 1- $4uk+3\frac{4}{uk+3}$ et $u_{k}$ > -1

$u_{k}+3$ > 2

$1uk+3\frac{1}{u_{k}+3}$ < 1/2
.
.
.
conclusion pour tout n de $mathbb{N}$ $u_{n}$ > -1

mais il y a problème lorsqu'on donne par exemple

$vn=ln⁡112+ln⁡222+...+ln⁡nn2v_{n}=\frac{\ln 1}{1^{2}}+\frac{\ln 2}{2^{2}}+...+\frac{\ln n}{n^{2}}$ avec n ≥ 1

Pb1: montrer que $ln⁡kk2\frac{\ln k}{k^{2}}$ ≤ $1kk\frac{1}{k\sqrt{k}}$
k≥1

Pb2: montrer que $12kk\frac{1}{2k\sqrt{k}}$ ≤ $1k−1\frac{1}{\sqrt{k-1}}$ - $1k\frac{1}{\sqrt{k}}$

Pb3:en deduire que $v_{n}$ ≤ 2- $2n\frac{2}{\sqrt{n}}$

Pb4: montrer que V est convergente
Pb5: je voudrai comprendre svp merci

Bonjour,

Pour (Un) , tu ne sembles pas avoir de problème

Une piste possible pour (Vn) Pb1 pour k ≥ 1

Pour k=1 , c'est "évident"

Pour k > 1 :

$\text{\frac{ln k }{k^2} \le \frac{1}{klnk} \longleftrightarrow lnk \le \frac{k^2}{k\sqrt k}\longleftrightarrow lnk \le \sqrt k \longleftrightarrow lnk-\sqrt k \le 0$

Pour démontrer que $\text{ln k -\sqrt k \le 0$ , tu peux poser :

$\text{f(k)=ln k -\sqrt k$ puis tu étudies les variations de f sur ]1 , +∞[

Tu dois trouver un maximum négatif pour k=4 , d'où le signe de f(k) , d'où la réponse.