Equations paramétriques d'une droite dans l'espace

Bonsoir à vous.

Voilà , je n'ai pas très bien compris la notion d'équation paramétrique d'une droite.
Voici ce que dit mon cours :
Soit une droite (D) passant par un point A(xa,ya,za) et qui a pour vecteur directeur u(x',y',z').
L'équation paramétrique de la droite est le système d'équation :

x = xa + x' t
y = ya + y' t
z = za + z' t

Une droite n'a pas de coordonnées non ? L'équation d'une droite n'est-elle pas sous la forme y = ax + b ? Et que signifie le paramètre t ? Je sais que c'est une variable appartenant aux réels mais concrètement , que signifie-t-elle et comment la détermine-t-on ?
Voilà si vous pouviez m'éclairer sur la notion d'équation paramétrique et sur le paramètre ça serais super.

Merci à vous.

Bonne soirée.

Bonsoir,

Fais un schéma pour mieux comprendre

Dans l'espace :

Soit M(x,y,z) un point quelconque de (D)

Les vecteurs $am⃗\vec{am}$ et $u⃗\vec{u}$ sont colinéaires

Donc , il existe un réel t tel que :

$am⃗=tu⃗\vec{am}=t \vec{u}$

En prenant l'égalité des abscisses , puis des ordonnées , puis des côtes , tu obtiens le sytème d'équations paramétriques que tu as donné.

t est le paramètre.

A chaque valeur de t correspond un point M de (D) ( et réciproquement )

Remarque : y=ax+b est l'équation cartésienne d'une droite dans le plan , non dans l'espace.

Bonjour.

Merci beaucoup pour votre réponse, c'est beaucoup plus clair.
J'aurai encore une petite question s'il-vous-plaît.
Quelle est la différence entre une équation cartésienne et une équation paramétrique ?
Par exemple pour l'équation d'une droite dans le plan , x n'est-il pas lui aussi un paramètre ?
Merci.

Pour une droite dans le plan,une équation cartésiennegénérale est de la forme ax+by+c=0 avec (a,b)≠(0,0)

Lorsque le coefficient de b n'est pas nul , on peut mettre cette équation sous le forme y=Ax+B

C'est une relation entre les coordonnées x et y d'un point M de la droite.

Dans l'espace , un plan a aussi une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)≠(0,0,0)

C'est une relation entre les coordonnées x , y et z d'un point M du plan.

Dans l'espace , une droite n'a pas UNE équation cartesienne car on ne peut pas trouver une seule relation entre les coordonnées x , y , z d'un point M de la droite.

On peut trouver deux plans dont l'intersection est la droite et ainsi la droite est définie par le système composé par les deux équations cartésiennes des deux plans.

Dans l'espace , comme je te l'ai indiqué dans mon message précédent , pour une droite , le plus simple est d'avoir 3 équations (pas une , TROIS ) qui permettent le connaître les coordonnées x, y, z de tout point M de la droite en fonction d'un "paramètre" t : ce sontles équations paramétriques de la droite.

En résumé :

une équation cartésienne est une relation entre les coordonnées d'un point M

une équation paramétrique du type x=f(t) est une relation entre l'abscisse x d'un point M et le paramètre t
une équation paramétrique du type y=g(t) est une relation entre l'ordonnée y d'un point M et le paramètre t
une équation paramétrique du type z=h(t) est une relation entre la côte z d'un point M et le paramètre t

Dans l'espace , une droite n'a pas UNE équation cartésienne ; elle a TROIS équations paramétriques.

Ah d'accord , merci pour vos explications.

C'est parfait j'ai pu te clarifier ces équations.

A+ .