Résolution d'un exercice sur les barycentres à l'aide des nombres complexes

Bonjour.

Voilà , j'ai un exercice sur les barycentres et je l'ai résolu en passant par les nombres complexes mais je ne sais pas comment le justifier , comment rédiger ma réponse.
Voilà l'exercice :

Soit A, B et C trois points non alignés du plan P et G le point défini par :
( PS : je n'ai pas trouvé la fonction vecteur donc je mettrai un (v) pour indiquer les vecteurs )

AG(v) = 1/4AB(v) + 1/2(v)

Dire si G est le barycentre du système (A;1) , (B;1) et (C;2).

J'ai " traduit " l'égalité ci-dessus en complexe et j'ai déterminé l'affixe de G ( que j'ai nommé z(g) ).

J'ai ensuite posé la somme vectorielle suivante :

GA(v) + GB(v) + 2GC(v)

La condition pour que G soit le barycentre du système est que cette somme vectorielle soit nulle. J'ai donc " traduit " cette somme en complexe , remplacé z(g) par la valeur trouvé précédemment et fais le calcul qui donne effectivement 0.

Cependant , je ne sais pas comment rédiger cela , comment le justifier sur ma copie , comment expliquer mon raisonnement ...

Ce n'est pas très clair mais j'espère que vous arriverai à comprendre.

Merci.

Bonjour,

Pour l'écriture des vecteurs , tu dois utiliser le Latex.

$ag⃗=14ab⃗+12ac⃗\vec{ag}=\frac{1}{4}\vec{ab}+\frac{1}{2}\vec{ac}$

Sans faire intervenir les complexes , tu peux transformer directement cette égalité vectorielle pour obtenir le résultat. C'est le plus simple .

Multiplication par 4 :

$4ag⃗=ab⃗+2ac⃗4\vec{ag}=\vec{ab}+2\vec{ac}$

Utilisation de la relation de Chasles :

$4ag⃗=(ag⃗+gb⃗)+2(ag⃗+gc⃗)4\vec{ag}=(\vec{ag}+\vec{gb})+2(\vec{ag}+\vec{gc})$

$4ag⃗=3ag⃗+gb⃗+2gc⃗4\vec{ag}=3\vec{ag}+\vec{gb}+2\vec{gc}$

Transposition :

$−ag⃗+gb⃗+2gc⃗=0⃗-\vec{ag}+\vec{gb}+2\vec{gc}=\vec{0}$

$\fbox{\vec{ga}+\vec{gb}+2\vec{gc}=\vec{0}}$

Par définition , G est le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,2)}