Système de numération.



  • Bonjour tout le monde.
    n>1 et a=n2+1a=n^2+1.On nous demande d'écrire les nombres suivants en base a:
    n2+2;n2+2n;(n2+2)2;n4n^2+2;n^2+2n;(n^2+2)^2;n^4.
    u=n(n2+2);v=n2(n2+2);x=u2;y=v2u=n(n^2+2);v=n^2(n^2+2);x=u^2;y=v^2.

    Pour le 1er nombre,j'ai écrit:
    n²+2=(n²+1)+1=a+1 qu'on peut traduire en base a par 11¯\bar{11}.
    Pour le 2eme ça se complique:
    on sait que a=n²+1 donc a-1=n² et en remplaçant :
    n²+2n=a-1+2n=a+(2n-1) .On compare a et 2n-1.
    a-2n+1=n²+1-2n+1=n²-2n+2>0 car $\delta=-4<0$ donc 2n-1<a
    On a donc n²+2n=a+(2n-1) et en posant α=2n1\alpha=2n-1 le nombre s'écrit
    1α¯\bar{1\alpha}.
    Pour (n²+2)²=(a+1)²=a²+2a+1 et en base a 121¯\bar {121}.
    (n2+2)2=n4+4n2+4=n4+4(n2+1)(n^2+2)^2=n^4+4n^2+4=n^4+4(n^2+1) donc n4=a2+2a+14a=a22a+1=(a1)2n^4=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.
    Je n'arrive pas à terminer.
    Je vous remercie d'avance pour votre aide éventuelle.



  • Bonjour,
    Pour n4n^4, factorise n4n^4 - 1



  • Bonjour Mathtous.
    Tout d'abord,merci d'avoir répondu.
    J'ai pensé à factoriser n41n^4-1 mais sans résultat.
    J'ai donc continué en suivant votre indication:
    n41=(n2+1)(n21)=a(a2)n^4-1=(n^2+1)(n^2-1)=a(a-2).Comme n>1 on a a>2 donc on peut poser a2=δa-2=\delta donc n41=δ0¯an^4-1=\bar{\delta0}^a et enfin n4=δ0¯a+1¯a=δ1¯an^4=\bar{\delta0}^a+\bar{1}^a=\bar{\delta1}^a.
    Je ne sais si c'est juste,c'est tout ce que j'ai pu faire.
    Merci d'avance pour votre aide.



  • Oui, c'est juste.
    (a-2) est un "chiffre" puisque a >2.

    Pour u, c'est le produit par n de n²+2 qui s'écrit 11
    Mais n <a : n est aussi un "chiffre", donc ...



  • Bonjour Mathtous.
    Donc pour u=n(n2+2)=na+n=nn¯au=n(n^2+2)=na+n=\bar{nn}^a puisque n<a.
    [tex]v=n^2(n^2+2)=n^2(a+1)=n^{2}a+n^2=\bar{{n^2}{n^2}}^a[/tex]car n²+1>n²
    donc a>n².
    Je vous avoue que u²=n²(n²+2)²=(a-1)(a+1)² fait intervenir le terme 2n² >a et cela me bloque.Je m'en remets à vous pour une indication.
    Je vous remercie infiniment.



  • Bonjour,
    v = nn^2(n2(n^2 + 2) = nu.
    Donc v s'écrit (n) × (n)(n) (je ne surligne pas, je mets les "chiffres" entre parenthèses).
    Cette multiplication ne présente pas de retenue, et on obtient donc
    (n(n^2)(n2)(n^2) =(a -1)(a - 1).
    Ici, comme pour les suivants, on peut travailler directement sur les écritures en base a.

    Pour x, cherche pour commencer à voir comment s'écrit (a-1) × (2).

    Je prépare un corrigé en PDF, mais il n'est pas encore terminé.
    Lorsque ce sera fait, tu pourras le regarder : je te donnerai les références.



  • Salut.
    En posant comme précédemment δ=a2\delta=a-2
    2(a1)=a+(a2)=1δ¯a2(a-1)=a+(a-2)=\bar{1\delta}^a.
    Après,je ne sais pas quoi faire.
    J'attends avec impatience votre corrigé et encore une fois MERCI pour votre gentillesse et votre patience.



  • Bonjour,
    2(a-1) intervient dans la multiplication (a-1)×(121) : pose-la et effectue-la en base a : tu auras juste une retenue dans l'addition des produits partiels.
    Tu peux également la poser dans l'ordre (121)×(a-1) mais tu auras une retenue dans les produits partiels et dans l'addition finale.
    Normalement, sauf erreur de ma part, tu dois trouver l'écriture
    (1)(0)(a-2)(a-1)



  • Bonjour.
    Voilà ce que j'ai fait:
    (a1)×121¯(a-1)\times{\bar{121}};en multipliant (a-1) par 1 on a (a-1).
    En multipliant (a-1) par 2 on a a+(a-2).On pose (a-2) et on retient 1.
    On multiplie (a-1)par 1 on obtient a-1 et on ajoute 1 donc on obtient a.
    On pose donc 0 et enfin 1.
    u² s'écrit donc si a1=δa-1=\delta et a2=δa-2=\delta
    u2=10δδ¯au^2=\bar{10\delta\delta}^a.
    J'ai vérifié en developpant,c'est juste.Merci de tout coeur.
    Il se fait tard,demain je verrais y=v².A bientot.



  • Oui, ça me paraît juste.
    Pour y, j'effectue également les calculs en base a.

    Tu peux vérifier tes résultats en choisissant n=3 : on obtient a=10, particulièrement commode.

    J'ai terminé mon corrigé : tu peux y accéder sur ce lien :

    Numération



  • Mille fois MERCI.
    Votre document en PDF est un modèle de clarté.Vous avez ma toute ma
    reconnaissance Mathtous.


 

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