Système de numération.

Bonjour tout le monde.
n>1 et $a=n^2+1$ .On nous demande d'écrire les nombres suivants en base a:
$n^2+2;n^2+2n;(n^2+2)^2;n^4$ .
$u=n(n^2+2);v=n^2(n^2+2);x=u^2;y=v^2$ .

Pour le 1er nombre,j'ai écrit:
n²+2=(n²+1)+1=a+1 qu'on peut traduire en base a par $11ˉ\bar{11}$ .
Pour le 2eme ça se complique:
on sait que a=n²+1 donc a-1=n² et en remplaçant :
n²+2n=a-1+2n=a+(2n-1) .On compare a et 2n-1.
a-2n+1=n²+1-2n+1=n²-2n+2>0 car $\delta=-4<0$ donc 2n-1<a
On a donc n²+2n=a+(2n-1) et en posant $α=2n−1\alpha=2n-1$ le nombre s'écrit
$1αˉ\bar{1\alpha}$ .
Pour (n²+2)²=(a+1)²=a²+2a+1 et en base a $121ˉ\bar {121}$ .
$n^2+2)^2=n^4+4n^2+4=n^4+4(n^2+1)$ donc $n^4=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2$ .
Je n'arrive pas à terminer.
Je vous remercie d'avance pour votre aide éventuelle.

Bonjour,
Pour $n^4$ , factorise $n^4$ - 1

Bonjour Mathtous.
Tout d'abord,merci d'avoir répondu.
J'ai pensé à factoriser $n^4-1$ mais sans résultat.
J'ai donc continué en suivant votre indication:
$n^4-1=(n^2+1)(n^2-1)=a(a-2)$ .Comme n>1 on a a>2 donc on peut poser $a−2=δa-2=\delta$ donc $n4−1=δ0ˉan^4-1=\bar{\delta0}^a$ et enfin $n4=δ0ˉa+1ˉa=δ1ˉan^4=\bar{\delta0}^a+\bar{1}^a=\bar{\delta1}^a$ .
Je ne sais si c'est juste,c'est tout ce que j'ai pu faire.
Merci d'avance pour votre aide.

Oui, c'est juste.
(a-2) est un "chiffre" puisque a >2.

Pour u, c'est le produit par n de n²+2 qui s'écrit 11
Mais n <a : n est aussi un "chiffre", donc ...

Bonjour Mathtous.
Donc pour $u=n(n2+2)=na+n=nnˉau=n(n^2+2)=na+n=\bar{nn}^a$ puisque n<a.
[tex]v=n^2(n^2+2)=n^2(a+1)=n^{2}a+n^2=\bar{{n^2}{n^2}}^a[/tex]car n²+1>n²
donc a>n².
Je vous avoue que u²=n²(n²+2)²=(a-1)(a+1)² fait intervenir le terme 2n² >a et cela me bloque.Je m'en remets à vous pour une indication.
Je vous remercie infiniment.

Bonjour,
v = $n$ ^2 $n^2$ + 2) = nu.
Donc v s'écrit (n) × (n)(n) (je ne surligne pas, je mets les "chiffres" entre parenthèses).
Cette multiplication ne présente pas de retenue, et on obtient donc
$(n$ ^2 $n^2$ ) =(a -1)(a - 1).
Ici, comme pour les suivants, on peut travailler directement sur les écritures en base a.

Pour x, cherche pour commencer à voir comment s'écrit (a-1) × (2).

Je prépare un corrigé en PDF, mais il n'est pas encore terminé.
Lorsque ce sera fait, tu pourras le regarder : je te donnerai les références.

Salut.
En posant comme précédemment $δ=a−2\delta=a-2$
$2(a−1)=a+(a−2)=1δˉa2(a-1)=a+(a-2)=\bar{1\delta}^a$ .
Après,je ne sais pas quoi faire.
J'attends avec impatience votre corrigé et encore une fois MERCI pour votre gentillesse et votre patience.

Bonjour,
2(a-1) intervient dans la multiplication (a-1)×(121) : pose-la et effectue-la en base a : tu auras juste une retenue dans l'addition des produits partiels.
Tu peux également la poser dans l'ordre (121)×(a-1) mais tu auras une retenue dans les produits partiels et dans l'addition finale.
Normalement, sauf erreur de ma part, tu dois trouver l'écriture
(1)(0)(a-2)(a-1)

Bonjour.
Voilà ce que j'ai fait:
$(a−1)×121ˉ(a-1)\times{\bar{121}}$ ;en multipliant (a-1) par 1 on a (a-1).
En multipliant (a-1) par 2 on a a+(a-2).On pose (a-2) et on retient 1.
On multiplie (a-1)par 1 on obtient a-1 et on ajoute 1 donc on obtient a.
On pose donc 0 et enfin 1.
u² s'écrit donc si $a−1=δa-1=\delta$ et $a−2=δa-2=\delta$
$u2=10δδˉau^2=\bar{10\delta\delta}^a$ .
J'ai vérifié en developpant,c'est juste.Merci de tout coeur.
Il se fait tard,demain je verrais y=v².A bientot.

Oui, ça me paraît juste.
Pour y, j'effectue également les calculs en base a.

Tu peux vérifier tes résultats en choisissant n=3 : on obtient a=10, particulièrement commode.

J'ai terminé mon corrigé : tu peux y accéder sur ce lien :

Numération

Mille fois MERCI.
Votre document en PDF est un modèle de clarté.Vous avez ma toute ma
reconnaissance Mathtous.