3. Arithmétique:équation.

Arithmétique:équation.

  • M

    Salut à tous.
    On veut résoudre dans n3\mathbb{n^3}n3l'équation (E) :
    x2+y2+z2=(2n−1)[2n]x^2+y^2+z^2=(2^{n}-1)[2^n]x2+y2+z2=(2n−1)[2n] avec n≥2n\geq{2}n≥2.
    I-1°-n=2.Vérifier que que le triplet (1;3;5) est solution de (E).
    2°-n=3.Déterminer tous les restes possibles de (x²+y²+z²) dans la division par 8.
    Existe-t-il un triplet (x;y;z) tel que x²+y²+z²=7[8] ?
    II-1°-n≥3n\geq{3}n≥3.On suppose qu'il existe (x;y;z) solution de (E).Montrer
    que les trois nombres ne peuvent qu'etre impairs tous les trois ou bien deux sont pairs et le dernier impair.
    2°-On suppose x et y pairs et z impair.Montrer que x²+y²+z²=1[4].Que concluez-vous ?
    3°-On suppose que x,y,z sont impairs.Montrer que x²+y²+z²=3[8].Que concluez-vous ?
    4°-Que pouvez-vous conclure pour (E).

    Réponses.
    I-1°-La réponse est facile.
    2°-J'ai établi d'abord un tableau à double entrée avec x² et y² pour trouver les restes possibles de x²+y² modulo 8;ensuite avec (x²+y²) et z².J'ai trouvé les restes 0;1;2;3;4;5;6 modulo 8.Nulle trace de 7 modulo 8.J'en déduis que si n=3,l'équation n'admet pas de solution.
    II-1°-Pour impair et pair,je mets respectivement I et P.Il y'a 4 cas possibles,l'ordre
    n'intervenant pas car + est associative:(P;P;P),(P;P;I),(P;I;I),(I;I;I).
    Je transforme (E).On peut écrire ,car 2n=0[2n]2^n=0[2^n]2n=0[2n]:
    x2+y2+z2+1=0[2n]x^2+y^2+z^2+1=0[2^n]x2+y2+z2+1=0[2n].En remplaçant on obtient :
    2[2k2+2k′2+2k2[2k^2+2k'^2+2k2[2k2+2k′2+2k. Ce qui est impossible car un nombre impair ne peut etre divisible par un nombre pair.J'ai fait de meme pour les autre cas et effectivement,il n y'a possibilité que pour (I;I;I) ou (I;P;P).
    2°-On montre facilement que pour x ,y pairs et z impair que x²+y²+z²=1[4].
    C'est la conclusion qui me bloque.Je vois bien qu'il y'a contradiction avec le I-1°;on devrait avoir 3 modulo 4.Mon problème vient du fait qu'on a n≥3n\geq{3}n≥3 et là on revient à n<3.
    3°-J'ai d'abord montré que k²+k=0[2] donc 4k²+4k=0[8];après c'est facile de montrer que x²+y²+z²=3[8].Voilà,c'est le meme problème.On est dans les cas
    n≥3n\geq{3}n≥3 et on me demande de conclure.
    4°-Je ne sais pas.
    Je vous remercie d'avance pour votre correction et quelque indication.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Tu peux peut-être regarder la correction ici ( c'est à la fin : exercice V , pour spécialité Maths )

    http://www.ac-grenoble.fr/lycee/elie.cartan/spip/IMG/pdf_correctionbacblanc2012.pdf

    M 1 réponse
  • M

    Bonjour Mtschoon.
    Je ne peux que vous dire MERCI.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bon courage pour tes maths , Mathieu42 .

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