Détermination des coefficients de Bezout.

Bonjour à vous .
$a>b>0;p.g.c.d(a;b)=rna\gt{b}\gt{0};p.g.c.d(a;b)=r_n$ et $a=bq_1+r_1;b=r_1q_2+r_2;r_1=q_3r_2+r_3;......r_n=q_{n+2}r_{n+1}+r_{n+2}$ .
Soient : $a=u_0a+v_0b;b=u_1a+v_1b;r_n=u_{n+1}a+v_{n+1}b$ .
1°.Calculer $u_0;v_0);(u_1;v_1);(u_2;v_2);(u_3;v_3);(u_4;v_4)$ .
2°.Conjecturer les expressions de $u_{n+1} et v_{n+1}$ .
3°.Montrer que quelque soit l'entier naturel n : $u_{n+1}=u_{n-1}-q_nu_n et v_{n+1}=v_{n-1}-q_nv_n$ .

Soution proposée.
1°.On a $a=u_0a+v_0b$ équivalent à $u_0-1)a+bv_0=0$ .Comme a et b sont strictement positifs ,on a nécéssairement :
$u_0=1 et v_0=0$ .
On a $b=u_1a+v_1b$ ou $u_1a+(v_1-1)b=0$ ;on en tire $u_1=0 et v_1=1$ .
On a $r_1=u_2a+v_2b$ .D'après a=bq1+r1(avec r1<b) qui nous donne r1=a-bq1.En identifiant on obtient $u_2=1 et v_2=-q_1$ .
On a aussi $r_2=u_3a+v_3b$ .D'après $b=q_2r_1+r_2$ on en déduit $r_2=b-q_2(u_2a+v_2b)=-q_2a+(1-q_2v_2)b$ .En identifiant on a
$u_3=-q_2u_2 et v_3=1-q_2v_2$ .
En procédant de la meme manière ,j'ai trouvé :
$u_4=u_2-q_3v_3 et v_4=v_2-q_3v_3$ .
2°.J'ai conjecturé effectivement les expressions des suites $u_n) et (v_n)$ formulées à la 3eme question.
3°.C'est là ou je ne suis pas sur de la démonstration par récurrence.Je n'ai jamais rencontré quleque chose lui ressemblant.
Initialisation:pour n=1 $u_2=u_0-q_1u_1$ et $v_2=v_0-q_1v_1$ .On remplace et $1=1−q1×0et−q1=0−q1×11=1-q_1\times{0} et -q_1=0-q_1\times{1}$ .La
propriété est vérifiée pour les deux expressions.
Hérédité.On démontre que si $u_{n+1}=u_{n-1}-q_nu_n et v_{n+1}=v_{n-1}-q_nv_n$ alors $u_{n+2}=u_n-q_{n+1}u_{n+1} et v_{n+2}=v_n-q_{n+1}v_{n+1}$ .
On a $r_n=u_{n+1}a+v_{n+1}b$ .On utilise l'hypothèse de récurrence et
$r_n=[u_{n-1}-q_nu_n]a+[v_{n-1}-q_nv_n]b=[u-{n-1}a+v_{n-1}b]-q_n[u_na+v_nb]=r_{n-2}-q_nr_{n-1}$ d'ou $r_{n+1}=r_{n-1}-q_{n+1}r_n=u_na+v_nb-q_{n+1}[u_{n+1}a+v_{n+1}b]$ et donc :
$r_{n+1}=[u_n-q_{n+1}u_{n+1}]a+[v_n-q_{n+1}v_{n+1}]b$ .On sait par définition que $r_{n+1}=u_{n+2}a+v_{n+2}b$ .En identifiant ,on établit la propriété pour tout n.
Comme je l'ai dit plus haut,je n'ai jamais développé une récurrence sur deux expressions à la fois et je ne l'ai pas montré pour n=0.D'ailleurs,les deux expressions ne s'y pretent pas.Enfin je n'ai pas du tout utilisé le PGCD(a;b).
Merci d'avance pour quelque indication et votre correction.Si la solution est un peu
(ou beaucoup) touffue,ne m'en tenez pas rigueur,des coupures fréquentes m'obligent à faire vite.

Bonjour,
Tu as une présentation de ton problème ici :

algoPGCD.pdf, bas page 4 (tu peux bien sûr regarder l'ensemble de l'article).
Bon courage.

Bonjour Mathtous.
Je vous remercie pour le document mais,malheureusement pour moi,je ne sais pas du tout ce qu'est une matrice.

PS:J'ai consulté votre site.Il est superbe.Je ne connaissais pas du tout la calculatrice arithmétique.Je l'ai téléchargée ainsi que la démonstration du petit théorème de Fermat.Il y'a beaucoup d'autres choses mais je n'ai
pas le niveau qu'il faut.C'est sur qu'il me servira.Du fond du coeur, merci
Monsieur.