Déterminer les diviseurs communs de deux nombres

Bonjour à tous.
$(x;y)\in{mathbb{n^{2}}$ et $x≤yx\leq{y}$ .
PGCD(x;y)=d et PPCM(x;y)=m.On veut déterminer tous les couples (x;y) tels que:
m²-5d²=2000.......().
1°-Montrez que si (x;y) est solution de () alors d² divise 2000.Déterminer tous les carrés parfaits divisant 2000.
2°-Montrez que 5 est un diviseur commun à d et m.Quelles sont alors les valeurs possibles de d?
3°-Déterminez tous les couples (x;y) vérifiant ().

Réponses proposées.
1°-On sait que $x = d x^{'}; y = d y^{'}$ et $x y = m d$ donc $d^2x'y'=md$ et $d x^{'} y^{'} = m$ et enfin $m^2=d^2(x'y')^2$ .
L'équation () devient $d^2(x'y')^2-5d^2=2000$ qu'on peut transformer en :
$(x′y′)2=2000d2+5(x'y')^2=\frac{2000}{d^2} +5$ .d² doit diviser 2000.
2000=2²(500);2000=4²(125);2000=5²(80);2000=10²(20);2000=20²(5).
2°-J'ai écrit autrement ():m²=2000+5d² et m²=5[400+d²] puis sachant que
m²=(dx'y')² donc $dx'y')^2=5(400+d^2)$ .Je n'ai pas pu aller plus loin,
car 5 peut diviser aussi bien d ,dx',dy' ou x'y'.On sait (j'ai oublié de le préciser) que
x' et y' sont premiers entre eux.
Je vous prie de corriger ma 1ere réponse et ,si possible,me donner
une indication pour la seconde.Merci d'avance.

Bonjour,
Pour la question 2, tout repose sur le fait que 5 est premier.
Si p premier divise a², alors p divise a.
(Ce n'est plus vrai si p n'est pas premier).
Or : m²=5[400+d²] donc 5 divise m².
Je te laisse continuer.

Bonjour Mathtous.
Je vous prie de m'excuser pour ce "retard".J'étais hospitalisé.
On a donc 5 divise m² et comme 5 est premier,il divise m.On peut poser
m=5k.
L'équation (*) peut aussi s'écrire : $5d^2=2000-m^2$ ou bien
$5d2=5×400−25k25d^2=5\times{400}-25k^2$ et $d^2=5(80-k^2)$ .
5 divise d² et comme 5 est premier,il divise d.
5 est un diviseur commun à m et à d.
D'après les carrés parfaits trouvés,les valeurs possibles de d sont :
5;10 et 20.
Avant de continuer,je vous prie,si vous le voulez bien, corriger cette partie.D'avance,merci.

Bonjour,
En effet, l'exercice est ancien.
J'espère que tu es rétabli.
Il me semble que ton raisonnement est juste mais qu'il y a une erreur de signes :
5d² = m² - 2000 et non pas 2000 - m² ?
Le reste est correct.

Je crois que la dernière question est facile.On détermine m pour la valeur de d qui convient (on a m²),esuite on revient à x' et y' et enfin à
aux couples (x;y).
Merci infiniment pour votre aide.

Pardon Mathtous,j'ai oublié de dire BONJOUR.

mathieu42
Je crois que la dernière question est facile.On détermine m pour la valeur de d qui convient (on a m²),esuite on revient à x' et y' et enfin à
aux couples (x;y).
Merci infiniment pour votre aide.
Bonjour, en effet, c'est la méthode.
Tu peux donner tes réponses en vue de vérification.

Bonjour Mathtous.
On a déterminé les carrés parfaits divisant 2000;on a trouvé 2,4,5,10,20.
On élimine 2 et 4.
Si d=5:m²=2000+5d² donc m²=2125 qui n'est pas un carré parfait.
Si d=10:m²=2500=50² donc m=50.
Si d=20:m²=4000 qui n'est pas un carré parfait.
(m;d)=(50;10).
On sait que dx'y'=m donc x'y'=5.Comme x<y alors x'<y' donc x'=1 et
y'=5.Il n'y a qu'un couple (x;y) vérifiant (*),c'est (10;50).
Je ne sais pas mais cette solution me parait bizarre.D'ailleurs on a prouvé que 5 était UN diviseur commun à m et d.2 et 4 peuvent l'etre aussi,
non ?
Encore merci à vous d'avoir demandé à voir la solution.
Bonne fin de semaine.

Bonjour,
Pourquoi cette solution te semble-t-elle bizarre ?
Certes, x divise y, mais ça n'a rien d'exceptionnel.
Sur le résultat, on constate que 2 divise d et m, mais 4 ne les divise pas.
Mais qu'importe : je ne vois pas comment prouver que 2 divise forcément d et m à partir des seules données.
Si l'éventualité d = 5 avait permis d'aboutir à une solution, 2 n'aurait pas divisé d.
On peut juste dire qu'on constate sur la seule solution trouvée que d et m sont pairs, c'est tout.

Merci beaucoup Mathtous.

De rien.
A+