Equation à 2 inconnues


  • F

    Bonjour,

    Comment, à partir de l'équation ax+by=cax+by=cax+by=c et d'une solution particulière, (x0,y0(x_0,y_0(x0,y0), retrouve t-on ces 2 expressions ?

    $\left{\begin{array}{l} {x=x_0+\lambda b \ y=y_0-\lambda a \ \end{array}$

    Dans lesquelles λ\lambdaλ représente un réel quelconque.

    Merci.


  • M

    Bonjour,
    Pour bien comprendre, commence par chercher des solutions de l'équation aX + bY = 0


  • F

    Merci pour ta réponse, je suppose que la notation XXX et YYY est voulue ?
    L'équation homogène est une droite qui passe par l'origine :
    $aX+bY=0\quad\Leftrightarrow\quad aX=-bY\quad\quad\Rightarrow\quad\dfrac{X}{b}=-\dfrac{Y}{a}=\lambda\Rightarrow\left{\begin{array}{l} {X=\lambda b \ Y=-\lambda a \ \end{array}$
    J'ai même remarqué/oublié que :
    $\dfrac{x}{b}=-\dfrac{y}{a}=\dfrac{x-x_o}{b}=\dfrac{y-y_o}{a}=\lambda\Rightarrow\left{\begin{array}{l} {x=x_0+\lambda b \ y=y_0-\lambda a \ \end{array}$
    Jusque là je connais les propriétés des rapports égaux 😁

    Ok, mais mon équation est complète : ax+by=cax+by=cax+by=c, avec un second membre.
    Il s'agit là d'une droite, parallèle à celle de l'équation homogène,
    mais avec une ordonnée à l'origine non nulle.

    Cà cloche où ?


  • M

    Oui, les grandes lettres sont volontaires.
    Attention au raisonnement : tu divises par b et a, mais s'ils sont nuls ??
    aX + bY est l'équation d'une droite passant par l'origine O(0,0), mais également par le point A(b,-a) : ce couple (b,-a) est bien aussi une solution de l'équation.
    M(X,Y) est un point de cette droite ⇔ les vecteurs OA et OM sont colinéaires.
    Il existe donc un réel λ tel que OM = λ.OA (les vecteurs)
    Il en résulte bien que X = λb et Y = λa, sans effectuer les divisions dangereuses.
    Pour la suite, il semble y avoir une confusion entre X et x, et Y et y.
    Puisque (x0,y0) est une solution de la première équation, on a donc
    ax0 + by0 = c
    Et on veut ax + by = c
    Donc ax + by = ax0 + by0
    D'où a(x-x0) + b(y-y0) = 0
    Il suffit alors de poser X = x-x0 et Y = y-y0 pour utiliser l'équation "sans second membre".


  • F

    mathtous
    Oui, les grandes lettres sont volontaires.
    Attention au raisonnement : tu divises par b et a, mais s'ils sont nuls ??
    aX + bY est l'équation d'une droite passant par l'origine O(0,0), mais également par le point A(b,-a) : ce couple (b,-a) est bien aussi une solution de l'équation.
    M(X,Y) est un point de cette droite ⇔ les vecteurs OA et OM sont colinéaires.
    Il existe donc un réel λ tel que OM = λ.OA (les vecteurs)
    Il en résulte bien que X = λb et Y = λa, sans effectuer les divisions dangereuses.Oui, mais il vrai que dans ce cas, l'équation est soit impossible ou avec une double infinité de solutions. Mais cette écriture n'est pas valable sans exlure/spécifier les valeurs interdites !
    Citation
    Pour la suite, il semble y avoir une confusion entre X et x, et Y et y.J'ai tout simplement déliré, j'ai écris ce que je voulais voir 😆
    Citation
    Puisque (x0,y0) est une solution de la première équation, on a donc
    ax0 + by0 = c
    Et on veut ax + by = c
    Donc ax + by = ax0 + by0
    D'où a(x-x0) + b(y-y0) = 0
    Il suffit alors de poser X = x-x0 et Y = y-y0 pour utiliser l'équation "sans second membre".Merci c'est limpide. Je remarque que c'est l'expression d'une "même" droite dans 2 repères et que c'est juste la translation du repère que tu poses ? Généralement, avec un second membre CONSTANT ou nul, la FORME (les variations) d'une expression algébrique, exemple un polynôme, reste la même, comme ici la proportionnalité exprimée par les droites ?

    J'espère avoir assimilé tes explications 😉


  • M

    En fait, on pouvait directement utiliser la droite d'équation ax +by =c passant par le point B(x0,y0), sous réserve de savoir que le vecteur de coordonnées (b,-a) est un vecteur directeur de cette droite (a et b non tous deux nuls). C'est évidemment équivalent à une translation ou à un changement de repère.
    Toutes ces méthodes se valent. Si j'ai choisi l'équation sans second membre, c'est parce que le λ sautait plus rapidement aux yeux.
    Changer de repère revenant à changer de variables, à condition de rester au premier degré (ainsi X = x² changerait le degré d'un polynôme), le forme de la représentation graphique reste évidemment la même, mais pas les solutions de l'équation.


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