Suites et inégalités.
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TTerS95 dernière édition par
Bonjour, j'ai un exercice que j'éssaye de faire depuis assez longtemps, mais je ne vois pas comment le résoudre :
La suite (Un) est définie pour tout n≥1 par :
Un = √(n+1)-√n- Démontrer que pour tout n ≥1
1÷(2√(n+1)) ≤ Un ≤ 1÷(2√n)
(un divisé par (deux racine de (n plus un)) inférieur ou égal à Un inférieur ou égal à un divisé par (deux racine de n).)
Cela fait plus de 2heures que je cherche et sérieusement, je n'ai trouvé aucune piste, je ne vois vraiment pas comment faire.
Merci d'avance.
- Démontrer que pour tout n ≥1
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Piste,
Pense à transformer Un avec la quantité conjuguée
un=(sqrtn+1−n)(n+1+n)n+1+nu_n=\frac{(sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}un=n+1+n(sqrtn+1−n)(n+1+n)
Tu dois trouver , après tranformation du numérateur :
$\fbox{u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}$
Il te reste à utiliser cette expression pour trouver facilement l'encadrement demandé.
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TTerS95 dernière édition par
Merci beaucoup pour cette réponse, ça m'a beaucoup aidé, je n'avais pas envisagé cette méthode.
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mtschoon dernière édition par
De rien.
A+
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FFairMaths dernière édition par
On peut aussi utiliser cette propriété :
a≤b↔1b≤1aa\le b\quad\leftrightarrow\quad\dfrac 1b\le\dfrac 1a\quada≤b↔b1≤a1 avec ab∈r+∗\quad ab\in\mathbb{r}^*_+ab∈r+∗
On est bien dans ce cas et l'inégalité à démontrer devient :
12n+1≤un≤12n↔2n≤un≤2n+1\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}\le u_n\le\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\quad\leftrightarrow\quad 2\sqrt{n}\le u_n\le 2\sqrt{n+1}2n+11≤un≤2n1↔2n≤un≤2n+1
A valider par les pro(f)s et, surtout, est-ce plus interressant ?
merci
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Tout ce que tu écris FairMaths , est totalement exact , mais au niveau "Démonstration" cela me gène un peu ( vu que l'énoncé demande une démonstration )
En affirmant l'équivalence logique relative à a et b , on tombe évidemment sur ce qu'il faut .
Il serait , il me semble ( pour le niveau Lycée ) , souhaitable de détailler d'abord avec rigueur la propriété relative à a et b que tu veux utiliser, puis ensuite l'appliquer à l'exercice.
Ceci est mon humble avis...