[Arithmétique] Démonstrations à préciser...

Bonsoir,

Je commence l'arithmétique et sur cette page : http://fr.wikiv...C3.A9_dans_Z
on trouve justement le début d'un cours d'arithmétique, mais j'ai quelques difficultés à comprendre certains points :frowning2:
§ Division euclidienne, à la démonstration de l'unicité je ne comprend pas vraîment les dernières lignes. Tout au plus je crois comprendre que c'est une démonstration par l'absurde parce que $q∉zq\not\in \mathbb{z}$ ?
Tout à la fin, je ne comprend pas l'exemple de la congruence : reste de $2^{16}$ divisé par 7.
Merci d'avance pour vos commentaires

Bonjour,
La démonstration de l'unicité est "mal ficelée".
Il faut y remplacer certains "b" (pas tous) par |b|.
0 ≤ r < |b| et 0 ≤ r' < |b|
D'où -|b| < r' - r < |b|
Jusque là tu comprends ?

Merci pour ta réponse.

Oui, on remplace $a$ par sa valeur dans la 1ère ligne, puis soustraction membre à membre des 2 inégalités : $0\le r'< |b|\text{ avec }0\le r < |b|$. Résultat : $0\le r'-r < |b| \leftrightarrow -b < r'-r < b$ ?
On utilise cette définition : $x < |y| \leftrightarrow -y < x < y$ ?

Ensuite...

Je viens de m'apercevoir que j'ai écris une bourde avec la soustraction membre à membre !

Non : il y a plusieurs erreurs.
0 ≤ r' < |b| : on garde
0 ≤ r < |b| , d'où -|b| < -r ≤ 0

On ajoute membre à membre (ne soustrais pas les inégalités : c'est source d'erreurs) :

0 ≤ r' < |b|
-|b| < -r ≤ 0
D'où : -|b| < r' - r < |b|
Remarque : toutes les inégalités sont maintenant strictes car les égalités ne sont plus possibles du fait qu'il y a au moins une inégalité stricte quand on ajoute.

mathtous
Non : il y a plusieurs erreurs.
0 ≤ r' < |b| : on garde
0 ≤ r < |b| , d'où -|b| < -r ≤ 0

On ajoute membre à membre (ne soustrais pas les inégalités : c'est source d'erreurs) :Oui, on ajoute en mutipliant par -1 tout l'inégalité à sousutraire. Je savais mais j'oublié et j'ai encore écris ce que je voulais voir !
Citation
0 ≤ r' < |b|
-|b| < -r ≤ 0
D'où : -|b| < r' - r < |b|
Remarque : toutes les inégalités sont maintenant strictes car les égalités ne sont plus possibles du fait qu'il y a au moins une inégalité stricte quand on ajoute.Ok, je comprend maintenant.

Mais la suite ?

b(q-q') = r' - r : cela provient des deux égalités initiales.
On en déduit :
|b|.|q-q'| = |r'-r|
Mais -|b| < r' - r < |b| , donc |r'-r| < |b|

D'où |b|.|q-q'| < |b| , et puisque b est non nul :
|q-q'| < 1
Quel est le seul entier positif plus petit que 1 ?

J'espère que tu as reçu mon MP.
Je te signalais une faute de frappe (elle est corrigée).

Merci, absent je découvre ta réponse à l'instant.
Citation
Quel est le seul entier positif plus petit que 1 ?0, donc q=q' et par conséquence r=r'
Même sans faire la bourde de la soustraction des inégalités, je n'aurais pas imaginé le passage à la valeur absolue de l'expression.

Bien, je vais relire le cours et les propriétés de la congruence, puis je reviendrais c'est sûr !

Encore merci

Citation
je n'aurais pas imaginé le passage à la valeur absolue de l'expression.On peut se passer des valeurs absolues à condition de connaître le signe de b, ce qui n'est pas le cas dans Z (dans N, oui).
Dans le cours Wiki que tu cites, ils auraient dû en tenir compte.
Tu peux lire Algorithme d'Euclide, la page 1 (tu peux bien sûr lire la suite si ça t'intéresse).

Pour les congruences, le cours Wiki est à nouveau bizarrement ficelé : la "vraie" définition est celle citée en second.
La première est une propriété caractéristique valable seulement lorsqu'il existe une division euclidienne.