Divisibilité & nombres premiers

Bonjour/soir,

Je commence l'arithmétique et vous remercie de corriger ces exercices assez faciles.
J'aurais pu poster 4 discussions séparées, mais je pense que les solutions sont correctes ?

A) Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs, démontrer que :
Si ( $b ∣ a$ et $a ∣ b$ ) alors $(a = b$ ou $a = - b)$

Réponse :
Soit $q$ et $q^{'}$ deux entiers relatifs non nuls :
$b=qaa|b\leftrightarrow \exists q\text{ tel que }b=qa\quad$ et $a=q′b\quad b|a\leftrightarrow \exists q'\text{ tel que }a=q'b$
On en tire : $a=q′qa→a(1−qq′)=0→qq′=1.a=q'qa\quad\rightarrow\quad a(1-qq')=0\quad\rightarrow\quad qq'=1.$
On en déduit : $q = q^{'} = 1$ ou $q = q^{'} = - 1 .$
c-a-d $a = b$ ou $a=−b.a=-b.\quad$ CQFD ?

B)
$$1. En utilisant le fait que : $1 040 = 97\times 10+70$, justifier que les diviseurs communs de
$\ \ \$ 1 040 et de 97 sont les diviseurs communs de 97 et 70.
$$2. Donner tous les diviseurs positifs de 70. Divisent-ils aussi 97 ?
$$3. En déduire les diviseurs communs de 1 040 et de 97.

Réponses :

On a : $1040=97×10+70↔70=1040−97×101040=97\times 10+70\leftrightarrow 70=1040-97\times 10$
$d ∣ 1040$ et $d∣97→d∣97×10→d∣(1040−97×10)→d∣70d|97\rightarrow d|97\times 10\rightarrow d|(1040-97\times 10)\rightarrow d|70$ .
La liste des diviseurs : $d(70)={1;\ 2;\ 5;\ 7;\ 10;\ 14;\ 70}$
97 est un nb premier, donc le seul diviseur commun avec 70 est 1.
On en déduit que le diviseur commun entre 1040 et 97 est 1 !
Alors CQFD ?

C) Démontrer qu’un nombre entier $n$ (écrit en base 10) est divisible par 4
ssi le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

Réponse :
Pour décrire $n$ on pose : $n=m+duˉ\ n=m+\bar{du}$
ou $m<nm\lt n$ est le multiple de 100 le plus proche de $n$ ,
$duˉ\bar{du}$ est le nombre des dizaines et des unités de $n$ .
En premier lieu on a : $(4 ∣ 100$ et $100∣m)→4∣m100|m)\rightarrow 4|m$
Donc : $4∣duˉ→4∣(m+duˉ)→4∣n4|\bar{du}\rightarrow 4|(m+\bar{du})\rightarrow 4|n$ .
De même : $duˉ=n−m\bar{du}=n-m$
Donc : $4∣n→4∣(n−m)→4∣duˉ4|n\rightarrow 4|(n-m)\rightarrow 4|\bar{du}$ .
Je ne sais pas si c'est rédigé correctement ?

D) On dit que deux entiers sont premiers entre eux,
si le seul diviseur positif commun à ces entiers est 1.

Soit $n$ un entier, montrer que $n$ et $n + 1$ , sont premiers entre eux.
En est-il de même de $n$ et $n + 2$ ?

Réponses :

Deux entiers successifs, $n$ et $n + 1$ sont premiers entre eux, car :
Si $(d|n\text{ et }d|n+1)\rightarrow \left{\begin{array} n+1=q'd \ n=qd \ \end{array}$ avec $q′)∈z∗(q\text{ et }q')\in\mathsf{z}^*$ et $q≠q′q\ne q'$
$n+1−n=q′d−qd↔d(q′−q)=1→d∣1n+1-n=q'd-qd\quad\leftrightarrow\quad d(q'-q)=1\rightarrow d|1$ ,
donc $n$ et $n + 1$ sont premiers entre eux.
Dans le cas de $n$ et $n + 2$ , si $n$ est pair $n + 2$ aussi, donc $2 ∣ n$ et $2 ∣ n + 2$ .
Si $n$ est impair $n + 1$ aussi et une démonstration analogue au 1. montre que deux nombres,
$2 k + 1$ et $2 k + 3$ , sont premiers entre eux. CQFD ?

Merci d'avance pour vos réponses,
@+

Houston ?

Bonjour,
L'un après l'autre sinon on va tout mélanger.
Pour le A) :

Citation
Soit q et q' deux entiers relatifs non nuls :"Soit" : ils ne sont pas initialement donnés : c'est une maladresse de présentation.
Pourquoi "non nuls" ? Précisément, ils peuvent l'être, et dans ce cas adieu qq' = 1.
Citation
a(qq'-1) = 0 ⇒ qq' =1Il y a là une faute de raisonnement : et si a = 0 ??
C'est pourquoi je conseillerais de traiter à part le cas des entiers nuls, et ensuite le cas où a et b sont tous deux non nuls (en fait, le seul cas que tu aies traité mais sans le préciser).

Merci pour ta réponse.
J'ai bien cru que poster ces 4 (cours) exos avait découragé les réponses.
mathtous
Bonjour,
L'un après l'autre sinon on va tout mélanger.
Pour le A) :

Citation
Soit q et q' deux entiers relatifs non nuls :"Soit" : ils ne sont pas initialement donnés : c'est une maladresse de présentation.
Pourquoi "non nuls" ? Précisément, ils peuvent l'être, et dans ce cas adieu qq' = 1.
Citation
a(qq'-1) = 0 ⇒ qq' =1Il y a là une faute de raisonnement : et si a = 0 ??
C'est pourquoi je conseillerais de traiter à part le cas des entiers nuls, et ensuite le cas où a et b sont tous deux non nuls (en fait, le seul cas que tu aies traité mais sans le préciser).J'avais remarqué le cas $a = 0$ , mais pas traité parce que embarrassé
Après réflexion, si $a = 0$ OU $b = 0$ , c'est impossible puisque 0 ne peut pas diviser un nombre.

Ensuite, il reste le cas $00\dfrac{0}{0}$ avec $a = 0$ ET $b = 0$ , indéterminé comme pour les limites ?

Merci pour ces remarques,
@+

En effet, le cas "nul" t'embarrasse.
0 est multiple de tout entier (y compris de lui-même), autrement dit tout nombre est diviseur de 0.
En revanche, 0 n'est diviseur que de lui-même.

Puisque a|b, alors, si a=0, b aussi. Et si b = 0, a est quelconque.
Mais b|a, donc mêmes conclusions dans l'autre sens.
En résumé, il est impossible que l'un soit nul sans que l'autre le soit aussi. Mais il est tout à fait possible qu'ils soient nuls tous les deux.
Cela ne retire rien à la conclusion : si a = b = 0, ils sont égaux ou opposés : en fait ils sont les deux à la fois.

Tout de même, écrire "a(qq'-1) = 0 ⇒ qq' =1" est une faute de raisonnement.
On ne peut écrire cela que dans le cas où a (et donc aussi b) est non nul, d'où le conseil de traiter séparément les deux cas.

Merci, je comprend mieux ton propos et sa justification.
B)

B)
Tu es sûr que 35 n'est pas un diviseur de 70 ?
1 est en effet le seul diviseur commun à 97 et 70 : ils sont premiers entre eux.
Leur PGCD vaut 1
La méthode utilisée dans cet exo est celle qui consiste à chercher le PGCD de 2 entiers par divisions successives.
Je t'ai, dans un autre sujet, indiqué un de mes articles sur cette question : tu peux le lire.

L'exemple de 97 et de 70 est ici mal choisi (tu n'y es pour rien) car 97 est premier alors que la méthode marche pour 2 entiers quelconques (non nuls).

mathtous
B)
Tu es sûr que 35 n'est pas un diviseur de 70 ?Aux oubliettes le 35 !
Citation
1 est en effet le seul diviseur commun à 97 et 70 : ils sont premiers entre eux.
Leur PGCD vaut 1
La méthode utilisée dans cet exo est celle qui consiste à chercher le PGCD de 2 entiers par divisions successives.
Je t'ai, dans un autre sujet, indiqué un de mes articles sur cette question : tu peux le lire.Oui j'ai vu orienté algorithme (TS ?), mais je suis aussi sur le Wiki et le cours d'arithmétique d'un prof de terminale S : http://jp.spriet.free.fr/.
Citation
L'exemple de 97 et de 70 est ici mal choisi (tu n'y es pour rien) car 97 est premier alors que la méthode marche pour 2 entiers quelconques (non nuls).
Ces 4 là sont tirés de son pdf de 35 pages bien fournie en exercices.

A+, merci bcp.