question sur égalité et fonction

bonjour!
On me donne cette égalité x^2+3x+3= (x+1)^2+x+2
comment démontrer que qqsoit/x>-1, [x^2+3x+3]/[(x+1)^2] est > à 1?
après on me dit sachant que f(x) =[x-1)(x^2+3x+3)]/[(x+1)^2]
Pourquoi on peut en déduire que pr tout réel x tel que x>1, on a f(x)>x-1
?

Si vous pouvez m'aider merci de me laisser une réponse!

Salut,

On sait que x²+3x+3 = (x+1)²+x+2
donc (x²+3x+3) / (x+1)² = [ (x+1)² + x+2 ] / (x+1)² (on divise par (x+1)² donc il faut que xdiff/-1)
donc (x²+3x+3) / (x+1)² = [ (x+1)² / (x+1)² ] + [ (x+2) / (x+1)² ]
donc (x²+3x+3) / (x+1)² = 1 + [ (x+2) / (x+1)² ] (égalité 1)

Or supposons y un réél tel que y>-2 :
donc y+2 > 0
donc (y+2) / (y+1)² > 0 (on divise des 2 côtés par (y+1)² qui est un carré donc toujours positif, de plus il faut que ydiff/-1)

donc qqsoit/yapp/]-2;-1[ union/ ]-1;+inf/[ : (y+2) / (y+1)² > 0

donc puisque x>-1 on a : (x+2) / (x+1)² > 0
donc 1 + [(x+2) / (x+1)²] > 1 (on ajoute 1 des 2 côtés)
donc (x²+3x+3) / (x+1)² > 1 (car voir égalité 1)
CQFD

Pour la deuxième question :

tu as montré à la question précédente que qqsoit/x>-1, (x²+3x+3) / (x+1)² > 1

donc (x-1) * (x²+3x+3) / (x+1)² > x-1 (on multiplie des 2 côtés par x-1)

donc qqsoit/x>-1, f(x) > x-1 (voir définition de f(x))

@+

3°) Démontrer que qqsoit/x>-1, f(x) < x

Il faut étudier le signe de la fonction f(x) - x.
Je ne vois pas de manière simple pour étudier directement le signe de f(x)-x, donc l'étude de la fonction f(x) - x reste la seule solution...

Pour cela, étudie les variations de la fonction g(x) = f(x) - x et montre que qqsoit/x>-1, g(x)<0 en t'appuyant sur le tableau de variations que tu auras construit.

On aura alors f(x)-x<0
et f(x)<x
CQFD