Ecriture canonique.

Bonjour, je suis complètement perdue je n'arrive pas à comprendre (après la leçon et les explications en classe...) comment écrire un trinôme sous forme canonique.

J'ai comme exemple :
f(x)= x²+4x-7
f(x)= x²+4x+4-4-7 (jusqu'ici j'ai compris l'apparition du +4 pour faire une identité remarquable)
f(x)= (x+2)²-11 ( factorisation grâce à l'identité remarquable)

C'est à partir d'ici que je ne comprends pas, il est écrit : On obtient à présent une expression du type « A²-B² » avec A=(x+2) et B=√(11) (pourquoi on fait apparaître une racine ? )
On applique donc l'identité remarquable :
« A²-B² = (A-B)(A+B):
(x+2)²-(√(11))²
[(x+2)-√(11)][(x+2)+√(11)]

Merci d'avance à ceux qui pourront m'expliquer la suite, effectivement j'ai besoin d'avancer étape par étape même pour quelque chose de simple.

Sayua

Bonjour Sayua

Pas de panique, la forme canonique n'est pas facile à assimiler en 1ère.

f(x)= x²+4x-7
f(x)= x²+4x+4-4-7 (jusqu'ici j'ai compris l'apparition du +4 pour faire une identité remarquable)
f(x)= (x+2)²-11 ( factorisation grâce à l'identité remarquable)

Si tu as compris jusque là, c'est le principal. C'est cette forme que l'on appelle forme canonique.

Ensuite, on va essayer de factoriser cette expression. Ca peut permettre de résoudre f(x)=0 c'est à dire de trouver les valeurs qui annulent f(x) (que l'on appelle les racines)

f(x)=(x+2)²-11

on va mettre cette expression sous la forme a²-b² afin de factoriser grace à l'id rem a²-b² = (a+b)(a-b)

le terme a² correspond à (x+2)²
a² = (x+2)²
on va prendre a=x+2

le terme b² correspond à 11
b² = 11
on va prendre b=√11 on a bien b²=(√11)²=11

on peut donc écrire

f(x)=(x+2)²-11
f(x)=(x+2)²-(√11)² puisque pour tout n positif n=(√n)²

en appliquant l'identité rem on obtient

f(x)=[(x+2)+√11][(x+2)-√11]

soit

f(x)=[x+(2+√11)][x+(2-√11)]

Pour trouver les racines du polynômes (les valeurs qui annulent f(x) on résout :

f(x)=0
soit [x+(2+√11)][x+(2-√11)] = 0

or A*B=0 ⇔ A=0 ou B=0

ce qui donne :

[x+(2+√11)]=0 ou [x+(2-√11)]=0

f(x) admet deux racines distinctes : $x_1$ = -2-√11 et $x_2$ = -2+√11

en espérant avoir été clair ...

Bonjour,
Si tu veux factoriser, par exemple, (x+2)² - 9
Tu sais que 9 est le carré de 3.
On peut donc écrire (x+2)² - 3² (regarde bien qui est au carré).
Et on applique l'identité :
(x+2)² - 3² = [(x+2) +3].[(x+2) - 3] = (x+5)(x -1)

D'où vient le "3" ? C'est la racine carrée de 9 : √9 = 3
C'est ici un entier, mais c'est rarement le cas.
Si on a 11 au lieu de 9 , on doit donc prendre la racine carrée de 11 : √11 qui n'est pas un nombre entier (on ne peut pas l'écrire plus simplement).

L'utilisation de la racine est effectivement plus compréhensible comme l'a décrite mathtous.

Merci beaucoup à vous deux, j'ai compris l'utilisation des racines.

Mais je bloque à présent sur : f(x)= 7x²+5x+1
f(x)= 7(x²+5/7x)+1 (on factorise par 7)

Et ici je ne comprends pas :
f(x)=7(x²+ 5/7x+ 25/196 - 25/196 )+1 (Comment on obtient 25/196 ?)

On a (a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)² = a² + 2ab + ...
On souhaite que x² + 5/7.x soit a² + 2ab
On a bien sûr a = x.

Mais gare au facteur 2 !
Cela donne b = 5/14 de manière que 2ab = 5/7.x
Tu vois maintenant d'où vient 25/196.

Oui merci, c'est compris (5/14)²= 25/196

Je tente de finir :

f(x)= 7[(x²+5/14)-25/196 ] +1
f(x)= 7(x²+5/14) + 3/28

α = 5/14 et β=3/28

C'est faux.
f(x)=7(x²+ 5/7x+ 25/196 - 25/196 )+1
Il aurait été plus habile de factoriser 7 partout :
f(x)=7(
x²+ 5/7x+ 25/196- 25/196 +1/7)
f(x) = 7[
(x+5/7)²- 25/196 + 28/196] : les expressions rouges étant égales
Je te laisse continuer

Merci mathtous pour les explications, mais je ne suis pas sûre d'avoir compris.

f(x) = 7[(x+5/7)² - 25/196 + 28/196]
f(x)= 7(x+5/7)²-3/28