Exercice suites et récurrence
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Llili111122 dernière édition par
Bonjour, je bloque sur cet exercice :
Prouver par récurrence qu'à partir d'un rang que l'on conjecturera, on a :
3^n > n^3J'ai voulu commencer avec le rang 1 mais je ne comprend pas comment prouver cette propriété par la suite.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
En donnant à n des valeurs consécutives ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5,...) tu peux constater que la propriété est vraie à partir de n=4 ( pour n=3 l'inégalite 3^3 > 3^3 est fausse )
Tu fais donc une récurrence pour n ≥ 4
Tu vérifies que la propriété est vraie pour n=4 (initialisation )
Pour l'hérédité: tu supposes l'inégalité vraie à un ordre n ( n ≥ 4) : $3^n > n^3$
Tu vas démontrer , grace à cette hypothèse , que $3^{n+1} > (n+1)^3$
Une piste possible pour la démonstration :
$3^n > n^3$
En multipliant chaque membre par 3 : $3^{n+1} > 3n^3$
Il te reste à prouver que : $3n^3 > (n+1)^3$ c'est à dire que $3n^3 - (n+1)^3 > 0$
Tu peux poserf(x)=3x3−(x+1)3f(x)=3x^3 - (x+1)^3f(x)=3x3−(x+1)3
Tu étudies les variations de f sur [4,+∞[ et tu pourras déduire que f(x) > 0 sur [4,+∞[ et déduire la réponse cherchée
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Llili111122 dernière édition par
Je ne comprend pas pourquoi tu veux multiplier par 3 chaque membre
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mtschoon dernière édition par
Pour passer de 3n3^n3n à 3n+13^{n+1}3n+1 , il faut multiplier par 3 :
3n×3=3n×31=3n+13^n\times 3=3^n\times 3^1=3^{n+1}3n×3=3n×31=3n+1