Irrationnalité de racine de 2


  • L

    Bonjour,
    je ne comprends pas mon DM, quelqu'un pourrait m'expliquer svp ? :

    Quel nombre peut avoir un carré égal à 2 ?

    A l'époque où l'on ne connaissait que les entiers naturels et les fractions, cette question était difficile.
    Il était évident qu'aucun entier n'a un carré égal à 2 mais existerait-il une fraction dont le carré est égal à 2 ?

    Les Pythagoriciens ont trouvé une preuve en raisonnant par l'absurde:

    On suppose qu'il existe une fraction irréductible p÷q dont le carré est égal à 2.

    1. Démontrer que p² = 2 q² ?
    2. Que peut-on en déduire sur la parité de p² ? et celle de p ?
    3. On pose donc p=2a avec aE N
      Que peut-on en déduire sur la parité de q² ? et celle de q ?
    4. A quelle contradiction arrive-t-on ?
    5. Conclure

    Voila, si vous pourriez m'éclairé ça serai gentil, Merci beaucoup 🙂


  • Zauctore

    Bonjour

    *On suppose qu'il existe une fraction irréductible p/q dont le carré est égal à 2.

    1. Démontrer que p² = 2 q². *

    La donnée se traduit par (p/q)² = 2.

    A quoi d'autre (p/q)² est-il égal ?


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