Exercice suite récurence



  • ex2
    on considère la suite u définie sur mathbbNmathbb{N}* associés à :
    ----- n
    unu_n = ∑ 1/√k=1+1/√2+1/√3+...+1/√n.
    ----- k=1
    1)Soit un entier n≥1. justifier que pour tout entier k, 1≤k≤n, on a : 1/√k≥1/√n.
    2)En déduire que pour tout entier n≥1, unu_n≥1/√n
    3)Déterminer la limite de la suite u.

    Si vous pouvez me donner quelques pistes...

    edit : 1 seul exercice par topic - merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une prochaine fois , évite de donner un énoncé scanné . TU peux améliorer tes écritures en utilisant la latex.

    Quelques pistes .

    1. utilise les propriéts usuelles ( entre nombres strictements positifs )

    kndonckndonc1k1n\text k \le n donc \sqrt k \le \sqrt n donc \frac{1}{\sqrt k} \ge \frac{1}{\sqrt n}

    1. utilise n fois la propriété du 1 ( pour k=1 , k=2 , k=3 , ..., k=n)

    $\left{\frac{1}{\sqrt 1} \ge \frac{1}{\sqrt n}\ \frac{1}{\sqrt 2} \ge \frac{1}{\sqrt n}\ \frac{1}{\sqrt 3} \ge \frac{1}{\sqrt n}\...\...\...\ \frac{1}{\sqrt n} \ge \frac{1}{\sqrt n}\right$

    En ajoutant membre à membre , tu obtiendras le résultat souhaité

    1. utilise les limites comparées.


  • je ne comprends pas la 2) car quand je fais ça me donne l'inverse du résultat même avec des réels 1/√2≤√2 alors que d'après l'énoncer c'est l'inverse pour le 3) la limite est infinie jusqu’à un N ou elle est ne varie plus de ce N mais comment la trouver car j'ai regardé avec toutes les formules possibles des limites je trouve pas comment justifié et trouvé ce N.


  • Modérateurs

    Pour la 2) , en ajoutant membre à membre , tu dois trouver :

    $\text{ u_n \ge n(\frac{1}{\sqrt n})$

    $\text{ u_n \ge \frac{n}{\sqrt n}$

    Après simplification :

    $\text{ u_n \ge \sqrt n$

    Pour la 3) , utilise un critère de comparaison

    limnn=+\lim_{n\to \infty} \sqrt n=+\infty

    Vu que $\text{ u_n \ge \sqrt n$ , tu peux déduire que : limnun=+\lim_{n\to \infty} u_n=+\infty


 

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