Exercice suite récurence

ex2
on considère la suite u définie sur $mathbb{N}$ * associés à :
----- n
$u_n$ = ∑ 1/√k=1+1/√2+1/√3+...+1/√n.
----- k=1
1)Soit un entier n≥1. justifier que pour tout entier k, 1≤k≤n, on a : 1/√k≥1/√n.
2)En déduire que pour tout entier n≥1, $u_n$ ≥1/√n
3)Déterminer la limite de la suite u.

Si vous pouvez me donner quelques pistes...

edit : 1 seul exercice par topic - merci

Bonjour,

Une prochaine fois , évite de donner un énoncé scanné . TU peux améliorer tes écritures en utilisant la latex.

Quelques pistes .

utilise les propriéts usuelles ( entre nombres strictements positifs )

$k≤ndonck≤ndonc1k≥1n\text k \le n donc \sqrt k \le \sqrt n donc \frac{1}{\sqrt k} \ge \frac{1}{\sqrt n}$

utilise n fois la propriété du 1 ( pour k=1 , k=2 , k=3 , ..., k=n)

$\left{\frac{1}{\sqrt 1} \ge \frac{1}{\sqrt n}\ \frac{1}{\sqrt 2} \ge \frac{1}{\sqrt n}\ \frac{1}{\sqrt 3} \ge \frac{1}{\sqrt n}\...\...\...\ \frac{1}{\sqrt n} \ge \frac{1}{\sqrt n}\right$

En ajoutant membre à membre , tu obtiendras le résultat souhaité

utilise les limites comparées.

je ne comprends pas la 2) car quand je fais ça me donne l'inverse du résultat même avec des réels 1/√2≤√2 alors que d'après l'énoncer c'est l'inverse pour le 3) la limite est infinie jusqu’à un N ou elle est ne varie plus de ce N mais comment la trouver car j'ai regardé avec toutes les formules possibles des limites je trouve pas comment justifié et trouvé ce N.

Pour la 2) , en ajoutant membre à membre , tu dois trouver :

$\text{ u_n \ge n(\frac{1}{\sqrt n})$

$\text{ u_n \ge \frac{n}{\sqrt n}$

Après simplification :

$\text{ u_n \ge \sqrt n$

Pour la 3) , utilise un critère de comparaison

$lim⁡n→∞n=+∞\lim_{n\to \infty} \sqrt n=+\infty$

Vu que $\text{ u_n \ge \sqrt n$ , tu peux déduire que : $lim⁡n→∞un=+∞\lim_{n\to \infty} u_n=+\infty$