Le nombre d'or (suite par récurrence)

Bonjour,

Je suis actuellement sur un exercice de DM et j'aurais besoin d'un peu d'aide. Voici le sujet :

Soit $U_n$ ), la suite définie par $U_0$ =1 et ∀n∈N $U_{n+1}$ =√ $1+U_n$

1)a) Construire graphiquement les 4 premiers termes de la suite $U_n$ ) à l'aide d'un diagramme de type "web"
b) Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire de la suite $U_n$ )

Démontrer que l'équation x=√1+x admet une unique solution, que l'on notera Φ, et dont on précisera la valeur exacte.
a) Montrer par récurrence que ∀n∈N, 1≤ $U_n$ ≤ $U_{n+1}$ ≤Φ
b)En déduire que la suite $U_n$ ) est convergente
a Montrer que ∀n∈N, Φ $U_{n+1}$ = Φ $U_n$ / Φ+√ $1+U_n$ (on utilisera le fait que (Φ=√1+Φ...)
b) On pose $V_n$ =Φ $U_n$ ; Montrer que ∀n∈N, 0≤ $v_{n+1}$ ≤ $V_n$ /2
c) En déduire par récurrence que ∀n∈N, 0 $v_{n+1}$ ≤(Φ $1)/2^n$
d) en déduire la limite de la suite $V_n$
e) Que vaut donc √1+√1+√1+...

Je suis parvenue à répondre au 2 premières questions.
Pour la valeur de Φ, j'ai trouvé 1+√5/2.

J'ai commencé à répondre à la 3e question, mais je pense faire fausse route:
on a $P_n$ est nommée par
"1≤ $u_n$ ≤u $_{n+1}$ ≤Φ".

Initialisation : ∀ $< e m > n$ ∈ N , on montre que $P_0$ est vraie :
$u_0$ =1
u $em>{0+1}$ = $U_1$ =√1+1=√2
1≤ $U_0$ ≤ $U_1$ ≤Φ $P_0$ est vraie

Hérédite : Supposons que Pk est vraie pour une certain k ∈N, on a 1≤ $U_k$ ≤Φ
On veut montrer que $P_{k+1}$ est vraie.
$U_{k+1}$ = √ $1+U_k$
$(U$ {k+1} $^²$ $1+U_k$
Or $P_k$ est vraie
Donc 1≤ $U</em>{k+1}$ ≤Φ² Comme 1>0, √1≤√ $U_{k+1}$ ≤√Φ
D'où 1≤ $U_{k+1}$ ≤Φ

Conclusion : Pn est vraie

b) D'après la démonstration par récurrence, on en déduit que la suite est croissante, puisque $U_n$ ≤ $U_{n+1}$ , et qu'elle est majorée par Φ. Or une suite majorée et croissante est convergente.

Je vous remercie par avance de votre aide.

Finalement à plusieurs nous avons trouvé la solution