Démontrer une égalité par récurrence

Bonjour, voilà j'ai des difficultés sur cet exercice que je n'arrive pas à démarrer:

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a
1×2+2×3+3×4+...n×(n+1)= n(n+1)(n+2)÷3

Merci.

Bonjour,
Commence par vérifier que la formule est vraie pour n = 1.
Puis passe à l'hérédité : appelant $S_n$ la somme 1×2+2×3+3×4+...n×(n+1),
regarde comment on passe de $S_n$ à $S_{n+1}$

A la fin de l'hérédité je trouve Sn= n³+6n²+8n÷3
Je n'arrive pas à conclure.

Détaille :
$S_{n+1}$ = $S_n$ + ...

J'ai refait mon calcul:
$S_{n+1}$ =Sn+n+1(n+1+1)+ (n+1(n+1+1)(n+1+2))÷3
$S_{n+1}$ =Sn+n+n+2+ (n+1(n+2)(n+3))÷3
$S_{n+1}$ =Sn+ (2n+2+ n+n²+3n+2n+3)÷3
$S_{n+1}$ =Sn+ (3n+6+n+n²+3n+2n+3)÷3
$S_{n+1}$ =Sn+ (n²+9n+9)÷3
$S_{n+1}$ =Sn +n²+3n+3

Il y a un problème de priorités et de parenthèses, mais également une confusion entre $S_n$ (connu) et $S_{n+1}$ (cherché).

$S_{n+1}$ = $S_n$ + (n+1)(n+2)
$S_{n+1}$ = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2)
Mets (n+1)(n+2) en facteur commun. Attention à la division par 3 (priorités)

Pourquoi (n+1)(n+2) on ne met pas sur 3 ?

Parce que dans la somme $S_n$ = 1×2+2×3+3×4+...n×(n+1) il n'y a pas de division par 3.
Quand on passe au terme suivant, on obtient donc
$S_{n+1}$ = 1×2+2×3+3×4+...n×(n+1) +
(n+1)(n+2)
Puis on applique l'hypothèse de récurrence pour remplacer la somme en rouge parn(n+1)(n+2)/3 (et là il y a une division par 3, mais pas pour le dernier terme en bleu).

Ok merci

Tu peux continuer seul ?

Je vais essayer