Déterminer si une égalité de fonctions admet des solutions



  • Bonjour, j'ai du mal sur cet exercice:
    Soit f et g les fonctions définies par:
    f(x)=1/√(x+16)-4
    g(x)=√(x+16)+4/x
    A-t-on f=g? Justifier
    J'aimerais juste qu'on m'éclaire...
    Merci d'avance!!! :razz:



  • Bonjour,
    Pour te répondre efficacement il faudrait qu'il n'y ait pas d’ambiguïté dans les écritures.
    Est-ce f(x) = 1/[√(x+16) - 4] ?
    Et g(x) = [√(x+16) + 4]/x ?
    Si oui :

    1. Indique pour quelles valeurs de x f et g sont définies
    2. Multiplie le numérateur et le dénominateur de f(x) tous deux par la quantité conjuguée du dénominateur : à savoir par [√(x+16) + 4]


  • Oui oui, excuses moi pour les parenthèses; c'est bien:
    f(x) = 1/[√(x+16)-4]
    et g(x) = [√(x+16)+4]/x

    donc pour la 1ère question l'idéal serait un tableau?? mais comment procéder avec la racine?
    Merci pour ta réponse 😄



  • C'est trop simple pour s'embarrasser d'un tableau.
    La quantité sous le radical, x + 16, doit être positive ou nulle,
    donc x ....
    Mais il y a aussi des dénominateurs qui ne doivent pas être nuls.
    Donc chercher, pour les exclure, les valeurs qui annuleraient les dénominateurs.
    Pour g, pas de souci : x ≠ 0
    Pour f, il faut résoudre l'équation √(x+16) = 4 : il suffit pour cela d'élever les deux membres au carré.



  • On a donc:
    C.N:

    pour g(x):

    • x+16 ≥ 0
      ⇒ x ≥ -16 et
    • x ≠ 0

    pour f(x):

    • x+16 ≥ 0
      ⇒ x ≥ -16

    Mais quand je résous l'équation , il arrive à un moment où je trouve un nombre négatif sous la racine et la rend donc impossible, est-ce normal?
    J'ai fais comme ça:

    √(x+16)-4 = 0
    ⇒ √(x+16) = 4
    ⇒ x² + 256 = 16
    ⇒ x² = -240
    ⇒ x = √-240 ⇔ s=∅ mais cette solution me paraît bizarre...

    Merci pour ta patience !



  • N'utilise jamais de tirets : on les prend pour des signes moins.

    La dernière partie est fausse (lorsque tu élèves au carré).
    Le carré de √(x+16) n'est pas x² + 256 (qui d'ailleurs ne serait pas non plus le carré de x + 16).
    Par définition d'une racine carrée :
    si A est positif (ou nul), la racine carrée de A, notée √A, est le nombre positif (ou nul) dont le carré vaut A (c'est du français : bien connaître la signification du pronom "dont").
    Par définition (ce n'est donc pas une "propriété"), on a donc (√A)² = A
    Ainsi, (√(x+16))² = x+16 sous réserve que x+16 soit positif ou nul
    c'est-à-dire x ≥ -16



  • Alors:
    √(x+16)-4 = 0
    ⇒ √(x+16) = 4
    ⇒ (√(x+16)² = 4²
    ⇒ x+16 = 16
    ⇒ x = 0 ??



  • Oui, il faut donc exclure aussi 0 pour que f soit définie.
    Autrement dit, les ensembles de définition de f et de g sont déjà égaux (sinon, f et g ne pourraient pas être égales).
    Cet ensemble est donc [-16 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[

    Maintenant tu peux passer à la suite :
    Citation

    1. Multiplie le numérateur et le dénominateur de f(x) tous deux par la quantité conjuguée du dénominateur : à savoir par [√(x+16) + 4]


  • 1(√(x+16)+4)/(√(x+16)-4)(√(x+16)+4)
    = √x + √16 + 4/x-16-16 (mais est-ce qu'on se débarrasse des 4 de cette façon??)



  • Non, non.
    Tu dois revoir les règles élémentaires de calcul car tu commets des erreurs fondamentales : √(a+b) ≠ √a + √b

    Le numérateur : 1(√(x+16)+4) : la multiplication par 1 ne change rien :
    1*a = a
    Donc le numérateur est √(x+16)+4, comme celui de g(x).

    Le dénominateur : (√(x+16)-4)(√(x+16)+4) : il est de la forme (a-b)(a+b) avec ici a = √(x+16) et b = 4.
    Mais tu dois savoir à quoi est égal (a-b)(a+b) ?



  • Ahhhhhhh!
    √(x+16)+4/(√(x+16)-4)(√(x+16)+4) (a-b)(a+b)=a²-b²
    ⇒ √(x+16)+4/(√x+16)²-4²
    ⇒√(x+16)+4/(x+16)-16
    ⇒√(x+16)+4/x

    On a donc Df = Dg = [-16 ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
    et f(x) = g(x) = √(x+16)+4/x



  • Oui, les deux fonctions sont donc égales.

    Attention à l'écriture : tu emploies ci-dessus le symbole ⇒ au lieu du symbole =.
    Et tu mélanges l'identité remarquable en plein milieu du calcul de f(x).
    Tu reverras donc la présentation.



  • D'accord, merci beaucoup j'ai (enfin) compris comment résoudre ce genre d'exercice. merci merci merciiii!



  • De rien voyons.
    Mais relis mes remarques concernant tes fautes : il est vraiment indispensable que tu maîtrises les bases du calcul.
    Bon courage.



  • Je vais travailler ça, merci 🙂


 

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