Mélange de Suite et D'Algorithme.



  • Voici l'exercice je suis totalement perdu.

    On pose up= 1/ p(p+1) et Sn= u1+ u2+...+un

    1. Conjecturer une limite.
      a) Proposer un algorithme qui permet de calculer les 20 premiers termes de la suite (Sn).
      b) Coder cet algorithme dans un langage de programmation, puis l'éxécuter afin de conjecturer la limite de la suite (Sn).

    2 Demontrer une conjecture
    a) Vérifier que, pour tout nombre entier naturel p non nul, up= 1/p - 1/p+1
    b) En déduire une expression de Snen fonction de n
    c) Déterminer la limite de la suite 'Sn)


  • Modérateurs

    Bonjour ( un petit "Bonjour" est convivial et fait plaisir )

    Pour t'aider à démarrer , voici un algorithme fait avec Algobox qui permet de calculer les 20 premiers termes de la suite (Sn).

    Evidemment , tu peux le modifier pour faire varier p de 1 à 1000 par exemple , pour conjecturer facilement la limite de la suite (Sn).
    Tu peux bien sûr aussi le modifier pour que l'utilisateur choisisse lui-même jusqu'à quelle valeur de p il veut calculer Sn

    fichier math



  • Bonjour ( désolé je vais mettre cette maladresse sur le compte de la fatigue ).

    Donc voilà j'avais travailler la veille et j'ai trouver ceci :

    Mettre O dans S
    Pour p allant de 1 à 20
    Mettre S+(1/p(p+1))
    Afficher S
    Fin Pour

    Mais je pense bien que j'ai une erreur quelques part ... ( voir tout ) 😕

    Donc d'après vous, aurai-je bon ou pas s'il vous plait.


  • Modérateurs

    Ton algorithme me semble bon ( précise la 3eme ligne )



  • Et j'ai trouver pour la 2) a.

    1/P-1/P+1
    = 1*(P+1)/P(P+1) - 1*P/P(P+1)
    = 1P+1/P(P+1) - 1P/P(P+1)
    = 1/P(P+1)

    Dois-je m'arrêter là pour le petit a.

    1. b.

    Ici je m'embrouille, le commencement sa va mais c'est pour la fin.

    Sn = (1/2 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + ( c'est ici que je bloque ... )



  • Bonjour,

    • Dans ton algo il manque un détail : Mettre S+(1/p(p+1)), mettre où ? L'instruction Afficher S peut se mettre comme tu le fais dans la boucle "pour", si on veut afficher tous les termes. Ou après le "fin pour" si on veut afficher uniquement le dernier. Au choix.

    • Pour ton 2a c'est bon, il n'y a rien à faire de plus. Tu peux éventuellement conclure avec un "= up" explicite.

    • 2b : le début est (1/1 - 1/2). Pour le dernier terme il faut se reporter à la définition : Sn = u1+...+un, on doit donc terminer par un, autrement dit reprendre le 2a en remplaçant p par n.



  • Bonjour

    Donc pour mon algo si je prend ce que m'a dit mtschoon (image si dessous) sa fonctionne quand même ?

    fichier math

    2b ) Si je prend en compte ce que tu me dit sa me donne.
    Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + 1/n(n+1)



  • Oui l'algorithme de mtschoon est parfait.
    Sinon ce que tu avais fait était presque bien, on pouvait le corriger en écrivant
    Mettre S+(1/p(p+1)) dans S
    ou
    S prend la valeur S+(1/p(p+1))

    2b : c'est ça.
    Éventuellement écris aussi l'avant-dernier terme, pour être sûr de simplifier la somme correctement.



  • J'ai corriger donc :
    Mettre O dans S
    Pour p allant de 1 à 20
    Mettre Sdans (1/p(p+1))
    Afficher S
    Fin Pour

    Pour 2 b
    Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...+ 1/n-1(n+1) + 1/n(n+1)

    Je pense pas que c'est çà ... enfin j'en suis pas convaincu.


  • Modérateurs

    non pour ta modification :

    Citation
    Mettre S dans (1/p(p+1))

    C'est S+(1/p(p+1)) qu'il faut mettre dans S

    non pour le 2 b : l'avant dernier terme n'est pas 1/[(n-1)(n+1)]

    Si n est remplacé par (n-1) , (n+1) est remplacé par .....................



  • Mettre (1/p(p+1)) dans S plutôt !
    (On met le résultat du calcul dans la variable S).

    Pour la fin de ta somme, et que la simplification soit possible, il faut écrire les termes comme ceux du début, sous la forme (1/... − 1/...) grâce au 2a.
    En utilisant la forme 1/(...)(...) ça ne mène nulle part.



  • J'ai corriger donc :
    Mettre O dans S
    Pour p allant de 1 à 20

    Mettre S + (1/p(p+1)) dans S
    Afficher S
    Fin Pour

    Pour 2 b
    Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...+ 1/n-1(n) + 1/n(n+1)

    C'est donc çà ?



  • Pour 2 b
    Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...+ (1/n-1 - 1/n) + (1/n - 1/n+1)

    Ou peut être çà .. Non ?


  • Modérateurs

    OK pour ta dernière version.

    Maintenant , il te reste à simplifier Sn



  • Sn = 1 + (1/n-1) - ( 1/n+1)

    Est ce que je doit encore simplifier ? Si oui comment ...



  • Sn = 1 + (1/n-1) - ( 1/n+1)

    Au final j'ai trouver sa

    = 1 + 1(n+1)/(n-1)(n+1) - 1(n-1)/(n+1)(n-1)
    = 1 + 1n+1/(n²+n-n-1) - 1n-1/(n²-n+n+1)
    = 1 + 1n/n²-1


  • Modérateurs

    L'idée de la simplification est juste mais il y a une erreur.

    Les termes se simplifient eux à deux. Réalise bien se que représentent le "..."



  • Ahh oui juste avant il y a déjà le (1/n-1) dans le '...'

    Donc sa me fait
    Sn = 1 + (1/n+1)
    C'est sa ?



  • Oui



  • Merci de votre aide 🙂



  • Mais pour le signe c'est bien
    1+ (1/n+1)
    ou bien
    1- (1/n+1)
    J'ai un doute ... 😕



  • heu c'est un −
    ^^'

    +(1n1n+1)+ \left( \dfrac1n - \dfrac{1}{n+1} \right)
    Quand on supprime la parenthèse...



  • Merci 🙂

    et pour finir le petit c

    pour la limite

    Lim 1/n+1 = +∞
    n→∞

    Lim 1- 1/n+1 = -∞
    n→∞

    Donc
    Lim Sn = -∞
    n→∞ = -∞

    Faut il plus justifier ou c bon.


  • Modérateurs

    C'est biensn=11n+1s_n=1-\frac{1}{n+1}

    Ta limite est mauvaise.

    Lorsque n tend vers +∞, (n+1) tend vers +∞ donc 1/(n+1) tend vers ................

    ( et regarde un peu la valeur de S20S_{20} donnée par ton programme...)



  • Ahh oui c'est vrai sa tend vers +∞

    Lorsque n tend vers +∞, (n+1) tend vers +∞ donc 1/(n+1) tend vers +∞

    et donc 1 - 1/(n+1) tend également vers l'infinie.


  • Modérateurs

    non...

    Pour comprendre , prends des exemples concrets .

    Pour n=10 , n+1=11 , 1/(n+1)=...
    Pour n=100 , n+1=101 , 1/(n+1)=...
    Pour n=1000 , n+1=1001 , 1/(n+1)=...

    Donc...............



  • Donc ... sa tant vers 0 !
    Merci .


  • Modérateurs

    Oui , 1/(n+1) tend vers 0.

    Tu en déduis la limite de Sn



  • Donc Sn tend vers 1 .


  • Modérateurs

    OUI ! ( et c'est ce que tu as dû conjecturer si tu as fait "tourner" ton programme-algorithme )


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