Montrer par récurrence une inégalité sur les suites

Bonjour,
Alors voilà je suis nouvelle sur le forum et j'ai un petit problème avec 2 exercices d'un devoir maison. Je les ai commencer mais je bloque.
Voici les exercice : Exercice 1 : 1) Soit a un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel, (1+a)^n ≥1+na.
2) Soit la suite Un=(5)^n En déduire que pour tout entier naturel, Un≥1+4n. En déduire la limite de la suite Un.
3) Soit la suite Vn=(q)^n avec q>1 En utilisant la même méthode qu'à la question 2, retrouver la limite de la suite Vn.

Exercice 3 : La suite Un est définie par U0=8 et pour tout entier naturel n, Un+1=3Un+5. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel, Un≥2^(n+3). En déduire que la suite Un diverge.

Alors dans l'exo 1 j'ai trouver la question 1 et ensuite pour la question 2 je bloque car je sais pas trop comment faire. Et pour l'exo 3, j'ai commencer a faire la récurrence : Initialisation : pour n=0, on a la propriété Un≥2^(n+3) Donc pour n=0 U0≥^2^(0+3) U0≥8. Donc la propriété est vraie au range n=o.
Hérédité : On suppose pour un rang n≥0 que la propriété est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que la propriété reste vraie au rang n+1, c'est-à-dire Un+1≥2^(n+1)+3.
Et ensuite c'est là que je bloque pour pouvoir le démontrer

Merci d'avance pour vos réponses !!

Bonjour,
2) utilise la question 1.
$1+a)^n$ ≥ 1+na
$5)^n$ ?
(à quoi correspond le "a" de la question 1, ici ?)

Récurrence : attention aux parenthèses, ce n'est pas 2^(n+1)+3
$2^{n+1}$ +3 ou $2^{n+1+3}$ ?)

Pour la récurrence c'est 2^(n+1+3)
Et la a de la question 1 correspond a un réel strictement positif.

J'ai fait la question 2 de l'exo 1 et voilà ce que j'ai mis : D'après la question 1, (1+a)^n≥1+na. Si on remplace a par 4 alors on a :
(1+4)^n≥1+n4
(5)^n≥1+4n
Donc Un≥1+4n.

Lim 1=1
Lim 4n=+∞ Donc lim de la suite Un=+∞

Voilà c'est ça.

Citation
Et la a de la question 1 correspond a un réel strictement positif.
^^ je voulais te faire dire que a correspond à 4.

Pour la récurrence, tu es à
$u_n$ ≥ $2^{n+3}$
tu dois transformer cette inégalité pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$ .
En utilisant la relation de récurrence.

ah d'accord merci ^^
ok ça je le sait mais donc ça veut dire que si j'ajoute n+1 j'obtient :
Un+(n+1)≥2^(n+3+(n+1))
C'est ça ou pas ?

Heu non.
On sait que $u_{n+1}$ = $3u_n$ +5
C'est-à-dire que pour passer de $u_n$ à $u_{n+1}$ , on multiplie par 3 puis on ajoute 5.
Maintenant applique ces deux opérations à l'inégalité
$u_n$ ≥ $2^{n+3}$

Euh je l'ai fait et je crois que j'ai faux car j'obtient 3Un+5≥11^(n+3)

11 ? Pas possible.

Tu dois avoir 3× $2^{n+3}$ +5
Il n'y a rien à simplifier, en fait.
Tout ce qu'on doit faire, c'est montrer que c'est ≥ $2^{n+3+1}$
Mais pour ça, tu dois être au point sur les opérations avec les puissances !
Tu peux te demander : $2^{n+3+1}$ = ? × $2^{n+3}$

okok.
euh 2^(n+3+1) = 2 x 2^(n+3) c'est ça ?

okok.
euh 2^(n+3+1) = 2 x 2^(n+3) c'est ça ?

Alors je l'ai refait et j'ai trouver Un≥2^(n+3)
3Un≥32^(n+3)
3Un+5≥32^(n+3) +5
mais je pense pas que sa soit fini ...

Jusque-là c'est bon.
Et $2^{n+3+1}$ = 2 x $2^{n+3}$ c'est bien ça.

Donc maintenant, est-ce que 3× $2^{n+3}$ +5 ≥ 2× $2^{n+3}$ ?
(en n'oubliant pas que n est un entier positif)

Bah oui 32^(n+3)+5≥ 22^-n+3)

Donc l'hérédité c'est fait, il ny a "plus qu'à" rédiger ça.

Ah d'accord !! bah merci beaucoup

par contre je n'arrive pas à déduire que la suite Un diverge ... Enfin je comprend pas

Pour une suite, diverger = ne pas avoir de limite, ou avoir une limite égale à ±∞.
Et on connaît la limite de la suite $2^{n+3}$ (suite géométrique).

Alors si j'ai bien compris, comme 2^(n+3) est une suite géométrique alors elle diverge ... c'est ça ?

Elles ne divergent pas toutes. Ensuite ici diverger est trop vague, pour pouvoir continuer après, on doit avoir exactement la limite.
Fais référence au cours sur les suites géométriques. Détaille le 1er terme et la raison de celle-ci ( $2^{n+3}$ ), vérifie les conditions dans ton cours et trouve sa limite.

Éventuellement, certains outils peuvent aider

http://i-math.fr/outils/noombaz/?q=2^(n+3)

Ensuite pour conclure il faut utiliser un des théorèmes sur les comparaisons de limites.

Ah oui j'ai compris. Merci c'est très gentil !!