Limite avec racine carrée

Bonjour, je bug sur un exo de limites

Soit la fonction f définie sur [1,inf[ par :
f : x -> V(x²+3x+4sinx) -x

Justifier que f est bien définie.
Etudier les limites suivantes :
lim V(x²+3x-4) -x
x -> +inf

et de

lim V(x²+3x+4) -x
x -> +inf

Et deduire la lim de f en inf

Je c'est que pour f faut faire le théoreme des gendarmes mais pour les limites sa me fait +inf/+inf donc FI. Et pour la 1 je comprend pas merci de votre aide

Bonjour,

Il faut montrer qu'il n'y a pas de valeurs interdites sur [1 ; +∞[
Pour que la racine carrée soit définie, il faut que x²+3x+4sin(x) ...
Effectivement ces 2 limites permettrons, grâce au théorème des gendarmes, de trouver celle de f.
Si tu te retrouves avec +∞/+∞, met x en facteur.

x * V(1+3/x-4/x²) -x
sa fait toujours FI ?
Je vois vraiment pas

J'ai finis la 2 me reste plus que la 1

Il faut dire que comme limite, ce n'est pas vraiment la plus facile à calculer !
Le coup de la factorisation, c'est intéressant avec un quotient, pas une différence.
Quand on a une différence et qu'on veut un quotient (et cette technique marche avec les racines carrées et les nombres complexes), on multiplie et on divise par la quantité conjuguée.
Ça donne $(blabla−x)(blabla+x)blabla+x\dfrac{(\sqrt{\text{blabla}}-x)(\sqrt{\text{blabla}}+x)}{\sqrt{\text{blabla}}+x}$
Tu développes, ça simplifie terriblement le numérateur (c'est fait pour).
Et là tu factorise x.

SI c'est pour la deux je l'ai fais et j'ai trouvé mais la c'est la qu 1 qui me bloque t'aurais des idée ? car normalement Df c'est 0 +inf ?

Pour la 1 tu dois vérifier que la racine carré est bien définie.
C'est-à-dire que x²+3x+4sin(x) est ...
Sachant que x ≥ 1, et connaissant un encadrement de sin(x), c'est jouable.

x²+3x+4sin(x) est définit en 1 +inf ?

-1 < sin x < 1 ?

• x²+3x+4sin(x) est définit en 1 +inf ?
Non. Dans ℝ, √A existe à condition que A ...
(Je mets A pour ne pas reprendre le même x que dans l'exercice)

• -1 < sin x < 1 ?
presque : ≤

a condition que A > 0 ?

-1 ≤ sin x ≤ 1

Que A ≥ 0. (√0 existe)
Donc est-ce que, si x ≥ 1, x²+3x+4sin(x) ≥ 0 ?

non il existe qui si x²+3x+4sin(x) ≥ 1 ?

Eh bien, si x²+3x+4sin(x) ≥ 0, alors √(x²+3x+4sin(x)) existe (= est définie)
Et sinon, √(x²+3x+4sin(x)) n'existe pas (= n'est pas définie)

Alors la question, c'est est-ce que, quand x ≥ 1, on a x²+3x+4sin(x) ≥ 0 ?
En fait l'énoncé sit que oui, et sinon il n'y aurait pas d'exercice. La question est plutôt POURQUOI quand x ≥ 1, a-t-on x²+3x+4sin(x) ≥ 0 ?

la réponse c'est quoi car je voix pas a part si c'est sa "Eh bien, si x²+3x+4sin(x) ≥ 0, alors √(x²+3x+4sin(x)) existe (= est définie)
Et sinon, √(x²+3x+4sin(x)) n'existe pas (= n'est pas définie)"

la réponse c'est quoi car je voix pas a part si c'est sa "Eh bien, si x²+3x+4sin(x) ≥ 0, alors √(x²+3x+4sin(x)) existe (= est définie)
Et sinon, √(x²+3x+4sin(x)) n'existe pas (= n'est pas définie)"

la réponse c'est quoi car je voix pas a part si c'est sa "Eh bien, si x²+3x+4sin(x) ≥ 0, alors √(x²+3x+4sin(x)) existe (= est définie)
Et sinon, √(x²+3x+4sin(x)) n'existe pas (= n'est pas définie)"

la réponse c'est quoi car je voix pas a part si c'est sa "Eh bien, si x²+3x+4sin(x) ≥ 0, alors √(x²+3x+4sin(x)) existe (= est définie)
Et sinon, √(x²+3x+4sin(x)) n'existe pas (= n'est pas définie)"

Je ne vais pas te donner la réponse ^_^
Mais il faut prouver que x ≥ 1 ⇒ x²+3x+4sin(x) ≥ 0.
On peut le faire par étapes :
si x ≥ 1 alors
• x² ≥ ?
• 3x ≥ ?
• et quelle que soit la valeur de x, 4sin(x) ≥ ?
• donc le total des trois ?

Mais il faut prouver que x ≥ 1 ⇒ x²+3x+4sin(x) ≥ 0.
On peut le faire par étapes :
si x ≥ 1 alors
• x² ≥ 1
• 3x ≥ 3
• et quelle que soit la valeur de x, 4sin(x) ≥ 4 x 1 = 4
• donc le total des trois = 8 ?

• x² ≥ 1
✓
• 3x ≥ 3
✓
• et quelle que soit la valeur de x, 4sin(x) ≥ 4 x 1 = 4
✗
Ce n'est pas sin(x) ≥ 1, mais sin(x) ≥ ?

• x² ≥ 1 ✓
• 3x ≥ 3 ✓
• et quelle que soit la valeur de x, 4sin(x) ≥ 2
Ce n'est pas sin(x) ≥ 1, mais sin(x) ≥

6 ?

On va mettre ça sur le compte de la fatigue ^^
-1 ≤ sin x ≤ 1
Donc sin x est toujours ≥ ?

-1 ? donc c'est -4 ?

-1 ? donc c'est -4 ?

oui, maintenant on peut assembler tout ça.
Donc x²+3x+4sin(x) ?
Conclusion pour la racine carrée ? Pour la fonction f ?

x²+3x+4sin(x) = 1 + 3 - 4 = 0
racine = V 0 = 0
racine - x = -1 ?

x²+3x+4sin(x) = 1 + 3 - 4 = 0
racine = V 0 = 0
racine - x = -1 ?

pas = mais ≥
x²+3x+4sin(x) ≥ 1 + 3 - 4
x²+3x+4sin(x) ≥ 0

Rappelle-toi ce qu'on cherche : prouver qu'il n'y a pas de valeurs interdites c'est-à-dire qu'on peut calculer cette racine carrée. On ne calcule pas une valeur particulière.

Je résume, jusqu'ici tu as prouvé que sur [1 ; +∞[ on a x²+3x+4sin(x) ≥ 0.
Il n'y a plus qu'à conclure !!
Que peut-on dire de √(x²+3x+4sin(x)) ? Est-ce que ça existe ou est-ce que si on essaie de calculer on tombe sur quelque chose d'impossible comme √(-7) ?

Comme x²+3x+4sin(x) ≥ 0. 0 est une valeur interdite

0 est une valeur interdite pour certaines fonctions (comme 1/x, car 1/0 n'existe pas), mais pas pour la fonction racine carrée : √0 = 0, il n'y a pas de problème.

√(x²+3x+4sin(x)) ≥ 0
√(x²+3x+4sin(x)) - x ≥ 1

On se contentera juste de conclure que √(x²+3x+4sin(x)) est définie, et que f aussi, sur [1 ; +∞[
La question ne demande pas si f est supérieure à une valeur particulière.