Déterminer le reste de la division d'un nombre par 13

Bonjour, je bloque sur la fin de mon exo sur les congru.

Trouver suivant les valeurs de n, le reste de la division de 5^n par 13.

b/ Quel est le reste de la division de 2007^(2007) par 13.
c/ Montrer que pour tout n appartenant à N*, 31^(4n+1) + 18^(4n-1) est divisible par 13.

je bloque pour la b et c merci de votre aide.

Bonjour,
Donne tes réponses pour la première question $5^n$ modulo 13)

Sa va être longs d'écrire donc je vous montre ma démarche
J'ai fais de n = 0 a n = 4 pour calculé les reste par exemple pour n = 0
on a 5^0 congrus modulo 13 avec un reste de 1

après j'ai fais si n = 4q, alors le reste est le même que celui de 5
0 c.a.d 1 j'ai fais sa jusquàa 4q+3

Citation
après j'ai fais si n = 4q, alors le reste est le même que celui de 5Non : le reste est 1 alors que celui de 5 est 5.
Donne juste les réponses :
si n = 4q alors $5^n$ ≡ 1 modulo 13
Si n = 4q +1 ....

4q+1 = 5
4q+2 = 12
4q+3= 8 ?

Citation
4q+1 = 5
4q+2 = 12
4q+3= 8J'espère que tu n'écris pas cela dans ta rédaction...

Pour la b) : Quel est le reste de la division de 2007 par 13 ?

non j'ai rédigé mais c'est que sa prendra trop de temps a écrire ^^

b/ le reste est 5 ?
j'ai fais 2007 divisé par 13 = 154.3
154 x 13 = 2002
2007-2002 = 5

Citation
j'ai fais 2007 divisé par 13 = 154.3L'égalité est fausse : c'est seulement une valeur approchée.
Même si c'est long, il faut rédiger un minimum sinon on ne se comprend pas.
Si tu avais posé la division au lieu d'utiliser la calculatrice, tu aurais tout de suite vu le reste.

Donc $2007^{2007}$ ≡ $5^{2007}$ modulo 13
Mais l'exposant 2007, à quoi est-il congru modulo ?? modulo quoi ?

je ne vois pas trop j'ai tenté sa :
5^1 ≡ 5 ≡ 1(13)
or 2007 = 401 x 5 + 2
5^2007 ≡ 5^1x2007 (13)
5^2007 ≡ (5^1)^2007 (13)
5^2007 ≡ 1^2007 (13)
5^2007 ≡ 1 (13)

est-ce bon ?

C'est faux.
Déjà, tu répètes plusieurs fois la même chose.
Citation
5^2007 ≡ (5^1)^2007 (13)Rien de nouveau par rapport à ce que j'avais écrit.
Citation
5^2007 ≡ 1^2007 (13)Non : car 5 n'est pas congru à 1 modulo 13.
As-tu bien compris le raisonnement ?
2007 ≡ 5 [13]
Donc $2007^{2007}$ ≡ $5^{2007}$ [13]

Ensuite, il faut s'intéresser à l'exposant (qui vaut aussi 2007 mais c'est un "hasard").
On sait à quoi sont congrues les puissances de 5 (première question) selon les valeurs de l'exposant.
$5^0$ ≡1 [13]
$5^1$ ≡ 5 [13]
$5^2$ ≡ 12 [13]
$5^3$ ≡ 8 [13]
$5^4$ ≡ 1 [13]
...
$5^{2007}$ ≡ ?? [13]

oui en effet j'avais oublié donc :

5^4 ≡ 1(13)
or 2007 = 501 x 4 + 3
5^2007 ≡ 5^(4x501) (13)
5^2007 ≡ (5^4)^501 (13)
5^2007 ≡ 1^501 (13)
5^2007 ≡ 1 (13)

est-ce bon ?

Citation
or 2007 = 501 x 4 + 3Cela est juste et très important.
Mais la suite est fausse : où est passé le "3" ?

je c'est pas comment l'introduire je le met en puissance 3^5 ?

2007 = 501 x 4 + 3
donc $5^{2007}$ ≡ $5^{(501×4) + 3}$ [13]
$5^{2007}$ ≡ $5^{(501×4) }$ × $5^3$ [13] : règle bien connue sur les puissances : $a^{b+c}$ = $a^b$ × $a^c$
Je te laisse continuer

2007 = 501 x 4 + 3
donc 52007 ≡ 5(501×4) + 3 [13]
52007 ≡ (5^4)^501 × 5^3 [13] :
5^2007 ≡ 1^501 x 8 (13)
5^2007 ≡ 8 (13)

c'est bon ?

Oui.
Pour la c) on cherche à nouveau des congruences modulo 13.
31 ≡ ? [13]
...

31 ≡ 5 [13]

Ensuite ?
Et 18, et leurs puissances, et en dernier la somme.

31 ≡ 5 [13]
18 ≡ 5 [13]

Je vois pas pour les puissances le n me géne ou il faut reprendre d'après la q1 pour n = 4n+1 on a comme reste 5 mais 4n-1 ?

31 ≡ 5 [13]
Donc $31^{4n+1}$ ≡ $5^{4n+1}$
$31^{4n+1}$ ≡ $5^{4n}$ × $5^1$
Je te laisse continuer : tu sais à quoi est congru $5^{4n}$ : c'est toujours l'application du résultat de la question a)

31^4n+1 ≡ 5^4n × 5^1 (13)
31^4n+1 ≡ 5^4n × 5 (13)

5^4n = 5^4 ≡ 1 et 5^n ?

Citation
5^4n ≡ 5^4 ≡ 1 et 5^n ?5^4n ≡ 5^4 ≡ 1.
Congru, pas égal.

Il n'y a pas de $5^n$
Il faut revoir les règles sur les puissances .

31^4n+1 ≡ 5^4n × 5 (13)
31^4n+1 ≡ 1 × 5
31^4n+1 ≡ 5

Tu fais la même chose pour $18^{4n-1}$

J'ai une question : pour le 5^4n on sait que 5^4 = 1 mais avec le n sa change pas ?

pour 18^4n-1
18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^4n (13)
18^4n-1≡ 1 (13)

Citation
pour le 5^4n on sait que 5^4 = 1 mais avec le n sa change pas ?
Citation
si n = 4q alors $5^n$ ≡ 1 modulo 13Autrement dit, $5^{4q}$ ≡ 1 [13]
Peu importe que le multiplicateur s'appelle n ou q ou m ou k ...
5^4n ≡ (pas = !!) 1 [13]

Citation
18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^4n (13)Ca recommence: comme précédemment le "3", c'est le "-1" qui a disparu.
18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^4n × $5^{-1}$ (13)
Mais tu vas t'emmêler avec l'exposant négatif.
Pose plutôt n = n' +1 :
18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^(4n'+4-1)
18^4n-1≡ 5^(4n'+3)
... continue

D'ou sort le +4 ? car on a posé n'+1 ?

18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^4n × 5-1 (13)
Mais tu vas t'emmêler avec l'exposant négatif.
Pose plutôt n = n' +1 :
18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^(4n'+4-1)
18^4n-1≡ 5^(4n'+3)
18^4n-1≡ 5^4n' + 5^3
18^4n-1≡ 1 + 8
18^4n-1≡ 9 (13) ?

Citation
18^4n-1≡ 5^4n' + 5^3multiplié, pas ajouté !!
Règle (déja rappelée) : $a^{b+c}$ = $a^b$ * $a^c$

18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^4n × 5-1 (13)
Mais tu vas t'emmêler avec l'exposant négatif.
Pose plutôt n = n' +1 :
18^4n-1≡ 5^4n-1 (13)
18^4n-1≡ 5^(4n'+4-1)
18^4n-1≡ 5^(4n'+3)
18^4n-1≡ 5^4n' + 5^3
18^4n-1≡ 8 (13)

?

Citation
18^4n-1≡ 5^4n'
+5^3J'enrage : pas "+" : multiplié !
Il ne te reste plus ensuite qu'à ajouter tes deux termes :
31^(4n+1) + 18^(4n-1) ≡ 5 + 8 [13]
et à conclure.

Oui désolé j'ai oublié de changé

31^(4n+1) + 18^(4n-1) ≡ 5 + 8 [13]
31^(4n+1) + 18^(4n-1) ≡ 13 [13]
31^(4n+1) + 18^(4n-1) ≡ 1 [13]

Ils sont premiers entre eux ?

Non.
Pour commencer, la dernière ligne est fausse : 13 n'est pas congru à 1 mais à ??

à 0 ?

Oui.
Et si un nombre est congru à 0 modulo 13, c'est qu'il est ...

Je vois pas trop xD

Je vois pas trop xD

Deux nombres a et b sont congrus modulo c lorsque leur différence est un multiple de c
Ici, ta somme est congrue à 0 modulo 13, donc la différence entre cette somme et 0 est un multiple de 13.
Cette différence est la somme elle-même (on retire 0) : la somme demandée est donc un multiple de 13 : c'était bien la question posée ?

Retiens : x ≡ 0 [c] ⇔ x est un multiple de c.

Donc la conclusion ici c'est 31^(4n+1) + 18^(4n-1) est un multiple de 13 ?

Évidemment.