Trouver l'expression d'une suite en fonction de n

[Pomcyy]

Bonjour, mon problème est que je bloque totalement sur les 2 premières questions.

Voici l'énoncé :
Soit $(W_n$) la suite définie sur N pas $W_n$ = $V$_n$-U_n$.

a) Montrer que pour tout enter naturel n, $V${n+1}$-U</em>n+1$ = $(V$_n$-U_n$) / $(V$n$+1)(U_n$+1)
En déduire que pour tout entier naturel n, $V$n$-U_n$ > ou égale à 0 et $V${n+1}$-U</em>n+1$ < ou égale à 1/4×$(V$_n$-U_n$)

b) Montrer que pour tout n, $V$_n$-U_n$ < ou égale à $(1/4{)}^n$

On sait que $V_{n+1}$ = (2 $V_n$ + $1)/(V_n$ + 1)
et que $U_{n+1}$ = (2 $U_n$ + $1)/(U_n$ + 1)

Merci d'avance pour votre aide.

[mtschoon]

Bonjour,

Pour la première partie du a) , il suffit de remplacer $V_{n+1}$ et $U_{n+1}$ par leurs expressions en fonction de $V_n$ et $U_n$ , réduire au même dénominateur , développer et simplifier le numérateur pour obtenir l'expression souhaitée.

Pour déduire les conséquences , es-tu sûr d'avoir donné tout l'énoncé ?

Tu n'as pas , au moins , $U_0$ , $V_0$ ou autre chose ?

[Pomcyy]

Oui j'ai U0 qui est égale à 1 et V0 qui est égale à 2

[mtschoon]

Ces éléments sont indispensables pour la suite de l'exercice !

Tu peux justifier facilement (avec deux petite récurrences )que , pour tout n de N , (Un) et (Vn) sont à termes positifs.

En utilisant la formule démontrée $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(v_n+1)(u_n+1)}$ , tu peux justifier ainsi que $(V$n$+1)(U_n$+1) est strictement positif donc que $V${n+1}$-U_{n+1}$est de même signe que $V$_n$-U_n$
Avec une récurrence , tu obtiens la propriété Vn-Un > 0

[Pomcyy]

Désolé je pensais les avoir précisées. Merci çà m'aide beaucoup mais en revanche je ne vois toujours pas comment faire la suite

[mtschoon]

Si c'est la seconde conséquence qui te pose problème , tu peux prouver que pour tout n de N :
$v_n\ge 1$
$u_n\ge 1$

d'où
$v_n+1\ge 2$
$u_n+1\ge 2$

d'où
$(u_n+1)(v_n+1)\ge 4$

En utilsant la propriété démontrée $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)}$ , tu déduiras la propriété cherchée $v_{n+1}-u_{n+1}\le \frac{1}{4}(v_n-u_n)$

[Pomcyy]

J'ai réussi grâce a votre aide :). En revanche j'ai beau chercher je ne vois pas comment faire pour le b).

[mtschoon]

Pour le b) , tu peux faire une récurrence en utilisant la dernière propriété démontrée au a)