Dérivée et étude de fonction rationnelle.

Bonjour, bonsoir. Je viens me demander quelques conseils, car j'ai quelques doutes sur mes résultats..

On m'a donner F(x) = $2x+3x3−1\frac {2x+3} {x^3-1}$ sur R \ {1} ( Valeur interdite )

On me demande, à la fin, de trouver le tableau de variation de F(x).

Donc, je calcule ma dérivée, F'(x) = $−4x3−9x2−2(x3−1)2\frac {-4x^3-9x^2-2} {(x^3-1)^2}$

Par la suite, on me donne G(x) = $4x^3-9x^2-2$

Donc logiquement, le signe de F'(x) dépend que de $4x^3-9x^2-2$ donc que de G(x) car $x^3-1)^2$ est toujours positif.

C'est la mon problème, comment je dresse le tableau de variation de G(x) ?

J'ai pensé faire la dérivée de G(x) puis tableau de signe, et tableau de variation derrière, mais j'ai pensé que ça ferait un peu trop de dérivée..

Je l'ai quand même fait, au cas ou. En tout cas, je voudrais savoir si je suis sur le bon chemin.

Merci d'avance pour vos réponses !

Bonjour,

Tu me sembles être sur le bon chemin.

Lorsque tu auras les variations de G , avec le théorème des valeurs intermédiaires , tu trouveras une valeur α ( α≈-2.35 ) qui annule G et tu en déduiras le signe de G(x) puis le signe de F'(x) puis les variations de F

Remarque : souvent , dans un énoncé , l'étude des variations de G et son signe sont demandées AVANT l'étude de F .

Donc je fais ma dérivée de G(x).

G'(x) = $12x^2-18x$

Donc, je fais les solutions avec Δ = 324

Donc X1 = 0 et X2 = -1.5

Je mets tout ça dans un tableau.

Et on remarque qu'il y a bien une unique solution pour g(x) = 0

Car entre ]- Infini ; -1.5] La courbe coupe l'axe des abscisses.

Donc entre ]- Infini ; -1.5] ,

La courbe est continue.
La courbe est strictement décroissante.
Lim g(x) = + Infini
x-> - Infini

Lim g(x) = -8.75
x-> -1,5

Donc G(x) = 0 admet une unique solution.

Grâce à la calculatrice nous trouvons :

Y | X
-0.0052 | -2.341
0.0184 | -2.342

L'encadrement pour α est : -2.342 < α < -2.341

Donc, si j'ai bien compris. Le signe de G(x) est le signe de F'(x). ( A mon avis, logiquement )

Tout cela me parait bon ! ( mais fais attention à la rédaction c'est la "fonction" qui est continue et la "fonction" qui est strictement décroissante sur ]-∞,-1.5] )

Je viens de me rendre compte que j'ai un soucis dans la rédaction du tableau pour F(x).

J'fais mon tableau, avec - Infini, la valeur interdite, et + Infini..

J'ai dis, juste avant de faire le tableau, que le signe de G'(x) était le signe de F(x). ( Il me semble. )

Problème, c'est ce que je mets dans le tableau est faux avec le tableau que j'ai fais avec G'(x)...

Je pense ne pas avoir saisi cette partie là..
Ou je me fais des idées, peut-être.

Normalement, F'(x), est décroissante de - Infini à 1 et de 1 à + Infini.

Seulement, G'(x), est croissant de -1,5 à 0... Peut-être que ça n'a aucun rapport, mais je me pose quand même la question..

Citation
le signe de G'(x) était le signe de F(x).? ?

Tu mélanges...

C'est le signe de G(x) qui te donne le signe de F'(x)

Revois tout cela tranquillement.

Voilà ce que j'ai fais sur ma copie, grosso modo.

J'suis peut-être parano, mais ça me parait faux.

Effectivement , c'est FAUX...

As tu vraiment trouver le signe de G(x)( en utilisant la valeur α ) ? ? ? J'en doute...

Je t'indique le SIGNE de G(x) que tu as dû trouver et les conséquences sur F

Pour x < α , G(x) positif donc F'(x) positif donc F croissante
Pour x = α , G(x) = 0 donc F'(x) =0 donc F maximale
Pour α < x < 1 , G(x) négatif donc F'(x) négatif donc F décroissante
Pour x > 1 , G(x) négatif donc F'(x) négatif donf F décroissante

J'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre sur ce point là.

Le coup du signe de G(x) avec l'alpha, je n'avais jamais encore fait pour être sincère. J'aurais appris quelque chose !

Le dernier problème encore pour moi, c'est de mettre ça dans un tableau.. Je suis un peu embêtant aujourd'hui.

J'vois ça comme ça, mais ça doit être encore pire, j'imagine. Il faut au moins que j'essaye.

Il faudra compléter ( 0 pour la dérivée pour x=α , et double barre pour f(x) pour x=1 ) mais c'est bon.